Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12789 / 12358
↖ ↑ ↗
← S 67.118748°
E101.008301°		 ← 950 m → S 67.118748°
E101.030274°		 →
↑
949.85 m
↓
↑
949.85 m
↓
S 67.127291°
E101.008301°		 ← 949.67 m →
902 202 m²		 S 67.127291°
E101.030274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780609130859375 y=0.754302978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780609130859375 × 214)
    floor (0.780609130859375 × 16384)
    floor (12789.5)     		tx = 12789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754302978515625 × 214)
    floor (0.754302978515625 × 16384)
    floor (12358.5)     		ty = 12358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12789 / 12358 ti = "14/12789/12358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12789/12358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12789 ÷ 214
    12789 ÷ 16384     		x = 0.78057861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12358 ÷ 214
    12358 ÷ 16384     		y = 0.7542724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78057861328125 × 2 - 1) × π
    0.5611572265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76292742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7542724609375 × 2 - 1) × π
    -0.508544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59764099053723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76292742} λ = 1.76292742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59764099053723))-π/2
    2×atan(0.202373356002661)-π/2
    2×0.199676587876887-π/2
    0.399353175753774-1.57079632675     		φ = -1.17144315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76292742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.008301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17144315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.118748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12789 KachelY 12358 1.76292742 -1.17144315 101.008301 -67.118748
    Oben rechts KachelX + 1 12790 KachelY 12358 1.76331092 -1.17144315 101.030274 -67.118748
    Unten links KachelX 12789 KachelY + 1 12359 1.76292742 -1.17159224 101.008301 -67.127291
    Unten rechts KachelX + 1 12790 KachelY + 1 12359 1.76331092 -1.17159224 101.030274 -67.127291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17144315--1.17159224) × R
    0.000149090000000074 × 6371000     		dl = 949.852390000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17144315--1.17159224) × R
    0.000149090000000074 × 6371000     		dr = 949.852390000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76292742-1.76331092) × cos(-1.17144315) × R
    0.00038349999999987 × 0.388822497263486 × 6371000     		do = 950.001647879862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76292742-1.76331092) × cos(-1.17159224) × R
    0.00038349999999987 × 0.38868513443428 × 6371000     		du = 949.666032232564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17144315)-sin(-1.17159224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388822497263486-0.38868513443428)×R²
    abs(1.76331092-1.76292742)×0.000137362829205956×R²
    0.00038349999999987×0.000137362829205956×6371000²
    0.00038349999999987×0.000137362829205956×40589641000000     		ar = 902201.944752103m²