Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12779 / 12311
↖ ↑ ↗
← S 66.713856°
E100.788574°		 ← 965.86 m → S 66.713856°
E100.810547°		 →
↑
965.72 m
↓
↑
965.72 m
↓
S 66.722541°
E100.788574°		 ← 965.52 m →
932 582 m²		 S 66.722541°
E100.810547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779998779296875 y=0.751434326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779998779296875 × 214)
    floor (0.779998779296875 × 16384)
    floor (12779.5)     		tx = 12779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751434326171875 × 214)
    floor (0.751434326171875 × 16384)
    floor (12311.5)     		ty = 12311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12779 / 12311 ti = "14/12779/12311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12779/12311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12779 ÷ 214
    12779 ÷ 16384     		x = 0.77996826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12311 ÷ 214
    12311 ÷ 16384     		y = 0.75140380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77996826171875 × 2 - 1) × π
    0.5599365234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75909247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75140380859375 × 2 - 1) × π
    -0.5028076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57961671628009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75909247} λ = 1.75909247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57961671628009))-π/2
    2×atan(0.206054060238196)-π/2
    2×0.203209936674279-π/2
    0.406419873348558-1.57079632675     		φ = -1.16437645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75909247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.788574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16437645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.713856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12779 KachelY 12311 1.75909247 -1.16437645 100.788574 -66.713856
    Oben rechts KachelX + 1 12780 KachelY 12311 1.75947596 -1.16437645 100.810547 -66.713856
    Unten links KachelX 12779 KachelY + 1 12312 1.75909247 -1.16452803 100.788574 -66.722541
    Unten rechts KachelX + 1 12780 KachelY + 1 12312 1.75947596 -1.16452803 100.810547 -66.722541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16437645--1.16452803) × R
    0.00015158000000004 × 6371000     		dl = 965.716180000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16437645--1.16452803) × R
    0.00015158000000004 × 6371000     		dr = 965.716180000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75909247-1.75947596) × cos(-1.16437645) × R
    0.000383490000000153 × 0.395323374917439 × 6371000     		do = 965.859916431386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75909247-1.75947596) × cos(-1.16452803) × R
    0.000383490000000153 × 0.395184137778101 × 6371000     		du = 965.51973019324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16437645)-sin(-1.16452803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395323374917439-0.395184137778101)×R²
    abs(1.75947596-1.75909247)×0.000139237139337278×R²
    0.000383490000000153×0.000139237139337278×6371000²
    0.000383490000000153×0.000139237139337278×40589641000000     		ar = 932582.289021003m²