Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12778 / 12034
↖ ↑ ↗
← S 64.187249°
E100.766601°		 ← 1 063.88 m → S 64.187249°
E100.788574°		 →
↑
1 063.64 m
↓
↑
1 063.64 m
↓
S 64.196814°
E100.766601°		 ← 1 063.51 m →
1 131 389 m²		 S 64.196814°
E100.788574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779937744140625 y=0.734527587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779937744140625 × 214)
    floor (0.779937744140625 × 16384)
    floor (12778.5)     		tx = 12778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734527587890625 × 214)
    floor (0.734527587890625 × 16384)
    floor (12034.5)     		ty = 12034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12778 / 12034 ti = "14/12778/12034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12778/12034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12778 ÷ 214
    12778 ÷ 16384     		x = 0.7799072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12034 ÷ 214
    12034 ÷ 16384     		y = 0.7344970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7799072265625 × 2 - 1) × π
    0.559814453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75870897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7344970703125 × 2 - 1) × π
    -0.468994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47338854672205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75870897} λ = 1.75870897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47338854672205))-π/2
    2×atan(0.22914769047867)-π/2
    2×0.225258749804659-π/2
    0.450517499609319-1.57079632675     		φ = -1.12027883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75870897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.766601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12027883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.187249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12778 KachelY 12034 1.75870897 -1.12027883 100.766601 -64.187249
    Oben rechts KachelX + 1 12779 KachelY 12034 1.75909247 -1.12027883 100.788574 -64.187249
    Unten links KachelX 12778 KachelY + 1 12035 1.75870897 -1.12044578 100.766601 -64.196814
    Unten rechts KachelX + 1 12779 KachelY + 1 12035 1.75909247 -1.12044578 100.788574 -64.196814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12027883--1.12044578) × R
    0.00016695000000011 × 6371000     		dl = 1063.6384500007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12027883--1.12044578) × R
    0.00016695000000011 × 6371000     		dr = 1063.6384500007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75870897-1.75909247) × cos(-1.12027883) × R
    0.00038349999999987 × 0.435431454337352 × 6371000     		do = 1063.88031060582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75870897-1.75909247) × cos(-1.12044578) × R
    0.00038349999999987 × 0.435281156225523 × 6371000     		du = 1063.5130904606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12027883)-sin(-1.12044578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435431454337352-0.435281156225523)×R²
    abs(1.75909247-1.75870897)×0.000150298111829206×R²
    0.00038349999999987×0.000150298111829206×6371000²
    0.00038349999999987×0.000150298111829206×40589641000000     		ar = 1131388.71245494m²