Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12776 / 12022
↖ ↑ ↗
← S 64.072199°
E100.722656°		 ← 1 068.29 m → S 64.072199°
E100.744629°		 →
↑
1 068.10 m
↓
↑
1 068.10 m
↓
S 64.081805°
E100.722656°		 ← 1 067.93 m →
1 140 847 m²		 S 64.081805°
E100.744629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779815673828125 y=0.733795166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779815673828125 × 214)
    floor (0.779815673828125 × 16384)
    floor (12776.5)     		tx = 12776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733795166015625 × 214)
    floor (0.733795166015625 × 16384)
    floor (12022.5)     		ty = 12022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12776 / 12022 ti = "14/12776/12022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12776/12022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12776 ÷ 214
    12776 ÷ 16384     		x = 0.77978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12022 ÷ 214
    12022 ÷ 16384     		y = 0.7337646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77978515625 × 2 - 1) × π
    0.5595703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75794198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7337646484375 × 2 - 1) × π
    -0.467529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46878660435852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75794198} λ = 1.75794198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46878660435852))-π/2
    2×atan(0.230204645099774)-π/2
    2×0.226262742585244-π/2
    0.452525485170488-1.57079632675     		φ = -1.11827084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75794198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.722656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11827084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.072199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12776 KachelY 12022 1.75794198 -1.11827084 100.722656 -64.072199
    Oben rechts KachelX + 1 12777 KachelY 12022 1.75832548 -1.11827084 100.744629 -64.072199
    Unten links KachelX 12776 KachelY + 1 12023 1.75794198 -1.11843849 100.722656 -64.081805
    Unten rechts KachelX + 1 12777 KachelY + 1 12023 1.75832548 -1.11843849 100.744629 -64.081805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11827084--1.11843849) × R
    0.000167649999999853 × 6371000     		dl = 1068.09814999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11827084--1.11843849) × R
    0.000167649999999853 × 6371000     		dr = 1068.09814999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75794198-1.75832548) × cos(-1.11827084) × R
    0.000383500000000092 × 0.437238211837838 × 6371000     		do = 1068.29472236209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75794198-1.75832548) × cos(-1.11843849) × R
    0.000383500000000092 × 0.437087430381911 × 6371000     		du = 1067.92632127263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11827084)-sin(-1.11843849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437238211837838-0.437087430381911)×R²
    abs(1.75832548-1.75794198)×0.000150781455927451×R²
    0.000383500000000092×0.000150781455927451×6371000²
    0.000383500000000092×0.000150781455927451×40589641000000     		ar = 1140846.87501966m²