Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12775 / 12438
↖ ↑ ↗
← S 67.792641°
E100.700684°		 ← 923.44 m → S 67.792641°
E100.722656°		 →
↑
923.29 m
↓
↑
923.29 m
↓
S 67.800944°
E100.700684°		 ← 923.11 m →
852 444 m²		 S 67.800944°
E100.722656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779754638671875 y=0.759185791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779754638671875 × 214)
    floor (0.779754638671875 × 16384)
    floor (12775.5)     		tx = 12775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759185791015625 × 214)
    floor (0.759185791015625 × 16384)
    floor (12438.5)     		ty = 12438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12775 / 12438 ti = "14/12775/12438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12775/12438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12775 ÷ 214
    12775 ÷ 16384     		x = 0.77972412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12438 ÷ 214
    12438 ÷ 16384     		y = 0.7591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77972412109375 × 2 - 1) × π
    0.5594482421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75755849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7591552734375 × 2 - 1) × π
    -0.518310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62832060629407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75755849} λ = 1.75755849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62832060629407))-π/2
    2×atan(0.196258893471521)-π/2
    2×0.193795767724963-π/2
    0.387591535449925-1.57079632675     		φ = -1.18320479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75755849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.700684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18320479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.792641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12775 KachelY 12438 1.75755849 -1.18320479 100.700684 -67.792641
    Oben rechts KachelX + 1 12776 KachelY 12438 1.75794198 -1.18320479 100.722656 -67.792641
    Unten links KachelX 12775 KachelY + 1 12439 1.75755849 -1.18334971 100.700684 -67.800944
    Unten rechts KachelX + 1 12776 KachelY + 1 12439 1.75794198 -1.18334971 100.722656 -67.800944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18320479--1.18334971) × R
    0.000144920000000104 × 6371000     		dl = 923.285320000662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18320479--1.18334971) × R
    0.000144920000000104 × 6371000     		dr = 923.285320000662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75755849-1.75794198) × cos(-1.18320479) × R
    0.000383489999999931 × 0.377959705160053 × 6371000     		do = 923.436741670915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75755849-1.75794198) × cos(-1.18334971) × R
    0.000383489999999931 × 0.377825531060666 × 6371000     		du = 923.108925526856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18320479)-sin(-1.18334971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377959705160053-0.377825531060666)×R²
    abs(1.75794198-1.75755849)×0.000134174099387541×R²
    0.000383489999999931×0.000134174099387541×6371000²
    0.000383489999999931×0.000134174099387541×40589641000000     		ar = 852444.255108686m²