Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12774 / 12123
↖ ↑ ↗
← S 65.025785°
E100.678711°		 ← 1 031.58 m → S 65.025785°
E100.700684°		 →
↑
1 031.34 m
↓
↑
1 031.34 m
↓
S 65.035060°
E100.678711°		 ← 1 031.22 m →
1 063 720 m²		 S 65.035060°
E100.700684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779693603515625 y=0.739959716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779693603515625 × 214)
    floor (0.779693603515625 × 16384)
    floor (12774.5)     		tx = 12774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739959716796875 × 214)
    floor (0.739959716796875 × 16384)
    floor (12123.5)     		ty = 12123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12774 / 12123 ti = "14/12774/12123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12774/12123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12774 ÷ 214
    12774 ÷ 16384     		x = 0.7796630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12123 ÷ 214
    12123 ÷ 16384     		y = 0.73992919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7796630859375 × 2 - 1) × π
    0.559326171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75717499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73992919921875 × 2 - 1) × π
    -0.4798583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50751961925153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75717499} λ = 1.75717499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50751961925153))-π/2
    2×atan(0.221458598929027)-π/2
    2×0.217941140230699-π/2
    0.435882280461398-1.57079632675     		φ = -1.13491405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75717499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.678711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13491405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.025785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12774 KachelY 12123 1.75717499 -1.13491405 100.678711 -65.025785
    Oben rechts KachelX + 1 12775 KachelY 12123 1.75755849 -1.13491405 100.700684 -65.025785
    Unten links KachelX 12774 KachelY + 1 12124 1.75717499 -1.13507593 100.678711 -65.035060
    Unten rechts KachelX + 1 12775 KachelY + 1 12124 1.75755849 -1.13507593 100.700684 -65.035060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13491405--1.13507593) × R
    0.000161880000000059 × 6371000     		dl = 1031.33748000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13491405--1.13507593) × R
    0.000161880000000059 × 6371000     		dr = 1031.33748000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75717499-1.75755849) × cos(-1.13491405) × R
    0.000383500000000092 × 0.422210347641635 × 6371000     		do = 1031.57746487058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75717499-1.75755849) × cos(-1.13507593) × R
    0.000383500000000092 × 0.422063598232002 × 6371000     		du = 1031.21891519314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13491405)-sin(-1.13507593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422210347641635-0.422063598232002)×R²
    abs(1.75755849-1.75717499)×0.000146749409632663×R²
    0.000383500000000092×0.000146749409632663×6371000²
    0.000383500000000092×0.000146749409632663×40589641000000     		ar = 1063719.61250614m²