Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12773 / 12059
↖ ↑ ↗
← S 64.425408°
E100.656738°		 ← 1 054.70 m → S 64.425408°
E100.678711°		 →
↑
1 054.53 m
↓
↑
1 054.53 m
↓
S 64.434892°
E100.656738°		 ← 1 054.34 m →
1 112 019 m²		 S 64.434892°
E100.678711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779632568359375 y=0.736053466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779632568359375 × 214)
    floor (0.779632568359375 × 16384)
    floor (12773.5)     		tx = 12773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736053466796875 × 214)
    floor (0.736053466796875 × 16384)
    floor (12059.5)     		ty = 12059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12773 / 12059 ti = "14/12773/12059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12773/12059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12773 ÷ 214
    12773 ÷ 16384     		x = 0.77960205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12059 ÷ 214
    12059 ÷ 16384     		y = 0.73602294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77960205078125 × 2 - 1) × π
    0.5592041015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75679150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73602294921875 × 2 - 1) × π
    -0.4720458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48297592664606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75679150} λ = 1.75679150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48297592664606))-π/2
    2×atan(0.226961262317692)-π/2
    2×0.223180414143512-π/2
    0.446360828287024-1.57079632675     		φ = -1.12443550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75679150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.656738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12443550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.425408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12773 KachelY 12059 1.75679150 -1.12443550 100.656738 -64.425408
    Oben rechts KachelX + 1 12774 KachelY 12059 1.75717499 -1.12443550 100.678711 -64.425408
    Unten links KachelX 12773 KachelY + 1 12060 1.75679150 -1.12460102 100.656738 -64.434892
    Unten rechts KachelX + 1 12774 KachelY + 1 12060 1.75717499 -1.12460102 100.678711 -64.434892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12443550--1.12460102) × R
    0.000165520000000141 × 6371000     		dl = 1054.5279200009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12443550--1.12460102) × R
    0.000165520000000141 × 6371000     		dr = 1054.5279200009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75679150-1.75717499) × cos(-1.12443550) × R
    0.000383489999999931 × 0.431685778129078 × 6371000     		do = 1054.70107775743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75679150-1.75717499) × cos(-1.12460102) × R
    0.000383489999999931 × 0.431536469195384 × 6371000     		du = 1054.33628396235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12443550)-sin(-1.12460102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431685778129078-0.431536469195384)×R²
    abs(1.75717499-1.75679150)×0.000149308933694303×R²
    0.000383489999999931×0.000149308933694303×6371000²
    0.000383489999999931×0.000149308933694303×40589641000000     		ar = 1112019.39366765m²