Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12772 / 12340
↖ ↑ ↗
← S 66.964476°
E100.634766°		 ← 956.06 m → S 66.964476°
E100.656738°		 →
↑
955.90 m
↓
↑
955.90 m
↓
S 66.973073°
E100.634766°		 ← 955.72 m →
913 740 m²		 S 66.973073°
E100.656738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779571533203125 y=0.753204345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779571533203125 × 214)
    floor (0.779571533203125 × 16384)
    floor (12772.5)     		tx = 12772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753204345703125 × 214)
    floor (0.753204345703125 × 16384)
    floor (12340.5)     		ty = 12340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12772 / 12340 ti = "14/12772/12340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12772/12340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12772 ÷ 214
    12772 ÷ 16384     		x = 0.779541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12340 ÷ 214
    12340 ÷ 16384     		y = 0.753173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779541015625 × 2 - 1) × π
    0.55908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75640800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753173828125 × 2 - 1) × π
    -0.50634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59073807699194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75640800} λ = 1.75640800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59073807699194))-π/2
    2×atan(0.20377515446348)-π/2
    2×0.201022866751497-π/2
    0.402045733502994-1.57079632675     		φ = -1.16875059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75640800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.634766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16875059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.964476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12772 KachelY 12340 1.75640800 -1.16875059 100.634766 -66.964476
    Oben rechts KachelX + 1 12773 KachelY 12340 1.75679150 -1.16875059 100.656738 -66.964476
    Unten links KachelX 12772 KachelY + 1 12341 1.75640800 -1.16890063 100.634766 -66.973073
    Unten rechts KachelX + 1 12773 KachelY + 1 12341 1.75679150 -1.16890063 100.656738 -66.973073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16875059--1.16890063) × R
    0.000150040000000073 × 6371000     		dl = 955.904840000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16875059--1.16890063) × R
    0.000150040000000073 × 6371000     		dr = 955.904840000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75640800-1.75679150) × cos(-1.16875059) × R
    0.000383500000000092 × 0.391301774494954 × 6371000     		do = 956.059212635598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75640800-1.75679150) × cos(-1.16890063) × R
    0.000383500000000092 × 0.391163693917513 × 6371000     		du = 955.721843329471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16875059)-sin(-1.16890063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391301774494954-0.391163693917513)×R²
    abs(1.75679150-1.75640800)×0.000138080577440303×R²
    0.000383500000000092×0.000138080577440303×6371000²
    0.000383500000000092×0.000138080577440303×40589641000000     		ar = 913740.38392375m²