Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12772 / 12020
↖ ↑ ↗
← S 64.052978°
E100.634766°		 ← 1 069.03 m → S 64.052978°
E100.656738°		 →
↑
1 068.80 m
↓
↑
1 068.80 m
↓
S 64.062590°
E100.634766°		 ← 1 068.66 m →
1 142 383 m²		 S 64.062590°
E100.656738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779571533203125 y=0.733673095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779571533203125 × 214)
    floor (0.779571533203125 × 16384)
    floor (12772.5)     		tx = 12772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733673095703125 × 214)
    floor (0.733673095703125 × 16384)
    floor (12020.5)     		ty = 12020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12772 / 12020 ti = "14/12772/12020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12772/12020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12772 ÷ 214
    12772 ÷ 16384     		x = 0.779541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12020 ÷ 214
    12020 ÷ 16384     		y = 0.733642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779541015625 × 2 - 1) × π
    0.55908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75640800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.46728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4680196139646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75640800} λ = 1.75640800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4680196139646))-π/2
    2×atan(0.23038127758025)-π/2
    2×0.22643047918053-π/2
    0.45286095836106-1.57079632675     		φ = -1.11793537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75640800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.634766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11793537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.052978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12772 KachelY 12020 1.75640800 -1.11793537 100.634766 -64.052978
    Oben rechts KachelX + 1 12773 KachelY 12020 1.75679150 -1.11793537 100.656738 -64.052978
    Unten links KachelX 12772 KachelY + 1 12021 1.75640800 -1.11810313 100.634766 -64.062590
    Unten rechts KachelX + 1 12773 KachelY + 1 12021 1.75679150 -1.11810313 100.656738 -64.062590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11793537--1.11810313) × R
    0.00016775999999985 × 6371000     		dl = 1068.79895999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11793537--1.11810313) × R
    0.00016775999999985 × 6371000     		dr = 1068.79895999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75640800-1.75679150) × cos(-1.11793537) × R
    0.000383500000000092 × 0.437539890741556 × 6371000     		do = 1069.03180794145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75640800-1.75679150) × cos(-1.11810313) × R
    0.000383500000000092 × 0.437389034960865 × 6371000     		du = 1068.66322525589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11793537)-sin(-1.11810313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437539890741556-0.437389034960865)×R²
    abs(1.75679150-1.75640800)×0.000150855780690962×R²
    0.000383500000000092×0.000150855780690962×6371000²
    0.000383500000000092×0.000150855780690962×40589641000000     		ar = 1142383.11681775m²