Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12771 / 12122
↖ ↑ ↗
← S 65.016506°
E100.612793°		 ← 1 031.91 m → S 65.016506°
E100.634766°		 →
↑
1 031.78 m
↓
↑
1 031.78 m
↓
S 65.025785°
E100.612793°		 ← 1 031.55 m →
1 064 522 m²		 S 65.025785°
E100.634766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779510498046875 y=0.739898681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779510498046875 × 214)
    floor (0.779510498046875 × 16384)
    floor (12771.5)     		tx = 12771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739898681640625 × 214)
    floor (0.739898681640625 × 16384)
    floor (12122.5)     		ty = 12122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12771 / 12122 ti = "14/12771/12122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12771/12122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12771 ÷ 214
    12771 ÷ 16384     		x = 0.77947998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12122 ÷ 214
    12122 ÷ 16384     		y = 0.7398681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77947998046875 × 2 - 1) × π
    0.5589599609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75602451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7398681640625 × 2 - 1) × π
    -0.479736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50713612405457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75602451} λ = 1.75602451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50713612405457))-π/2
    2×atan(0.221543543524923)-π/2
    2×0.218022112124818-π/2
    0.436044224249635-1.57079632675     		φ = -1.13475210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75602451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.612793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13475210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.016506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12771 KachelY 12122 1.75602451 -1.13475210 100.612793 -65.016506
    Oben rechts KachelX + 1 12772 KachelY 12122 1.75640800 -1.13475210 100.634766 -65.016506
    Unten links KachelX 12771 KachelY + 1 12123 1.75602451 -1.13491405 100.612793 -65.025785
    Unten rechts KachelX + 1 12772 KachelY + 1 12123 1.75640800 -1.13491405 100.634766 -65.025785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13475210--1.13491405) × R
    0.000161949999999855 × 6371000     		dl = 1031.78344999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13475210--1.13491405) × R
    0.000161949999999855 × 6371000     		dr = 1031.78344999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75602451-1.75640800) × cos(-1.13475210) × R
    0.000383489999999931 × 0.422357149437254 × 6371000     		do = 1031.90923416715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75602451-1.75640800) × cos(-1.13491405) × R
    0.000383489999999931 × 0.422210347641635 × 6371000     		du = 1031.5505658489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13475210)-sin(-1.13491405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422357149437254-0.422210347641635)×R²
    abs(1.75640800-1.75602451)×0.000146801795619655×R²
    0.000383489999999931×0.000146801795619655×6371000²
    0.000383489999999931×0.000146801795619655×40589641000000     		ar = 1064521.83802381m²