Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12771 / 12030
↖ ↑ ↗
← S 64.148952°
E100.612793°		 ← 1 065.32 m → S 64.148952°
E100.634766°		 →
↑
1 065.17 m
↓
↑
1 065.17 m
↓
S 64.158531°
E100.612793°		 ← 1 064.95 m →
1 134 551 m²		 S 64.158531°
E100.634766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779510498046875 y=0.734283447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779510498046875 × 214)
    floor (0.779510498046875 × 16384)
    floor (12771.5)     		tx = 12771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734283447265625 × 214)
    floor (0.734283447265625 × 16384)
    floor (12030.5)     		ty = 12030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12771 / 12030 ti = "14/12771/12030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12771/12030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12771 ÷ 214
    12771 ÷ 16384     		x = 0.77947998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12030 ÷ 214
    12030 ÷ 16384     		y = 0.7342529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77947998046875 × 2 - 1) × π
    0.5589599609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75602451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7342529296875 × 2 - 1) × π
    -0.468505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4718545659342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75602451} λ = 1.75602451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4718545659342))-π/2
    2×atan(0.229499468374729)-π/2
    2×0.22559295222524-π/2
    0.451185904450481-1.57079632675     		φ = -1.11961042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75602451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.612793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11961042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.148952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12771 KachelY 12030 1.75602451 -1.11961042 100.612793 -64.148952
    Oben rechts KachelX + 1 12772 KachelY 12030 1.75640800 -1.11961042 100.634766 -64.148952
    Unten links KachelX 12771 KachelY + 1 12031 1.75602451 -1.11977761 100.612793 -64.158531
    Unten rechts KachelX + 1 12772 KachelY + 1 12031 1.75640800 -1.11977761 100.634766 -64.158531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11961042--1.11977761) × R
    0.000167189999999984 × 6371000     		dl = 1065.1674899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11961042--1.11977761) × R
    0.000167189999999984 × 6371000     		dr = 1065.1674899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75602451-1.75640800) × cos(-1.11961042) × R
    0.000383489999999931 × 0.436033074335782 × 6371000     		do = 1065.32245614616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75602451-1.75640800) × cos(-1.11977761) × R
    0.000383489999999931 × 0.435882608838556 × 6371000     		du = 1064.95483661795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11961042)-sin(-1.11977761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436033074335782-0.435882608838556)×R²
    abs(1.75640800-1.75602451)×0.000150465497225416×R²
    0.000383489999999931×0.000150465497225416×6371000²
    0.000383489999999931×0.000150465497225416×40589641000000     		ar = 1134551.06111041m²