Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12768 / 12393
↖ ↑ ↗
← S 67.415927°
E100.546875°		 ← 938.31 m → S 67.415927°
E100.568848°		 →
↑
938.13 m
↓
↑
938.13 m
↓
S 67.424364°
E100.546875°		 ← 937.98 m →
880 104 m²		 S 67.424364°
E100.568848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779327392578125 y=0.756439208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779327392578125 × 214)
    floor (0.779327392578125 × 16384)
    floor (12768.5)     		tx = 12768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756439208984375 × 214)
    floor (0.756439208984375 × 16384)
    floor (12393.5)     		ty = 12393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12768 / 12393 ti = "14/12768/12393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12768/12393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12768 ÷ 214
    12768 ÷ 16384     		x = 0.779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12393 ÷ 214
    12393 ÷ 16384     		y = 0.75640869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779296875 × 2 - 1) × π
    0.55859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75487402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75640869140625 × 2 - 1) × π
    -0.5128173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61106332243085
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75487402} λ = 1.75487402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61106332243085))-π/2
    2×atan(0.199675182053332)-π/2
    2×0.197083215400726-π/2
    0.394166430801452-1.57079632675     		φ = -1.17662990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75487402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17662990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.415927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12768 KachelY 12393 1.75487402 -1.17662990 100.546875 -67.415927
    Oben rechts KachelX + 1 12769 KachelY 12393 1.75525752 -1.17662990 100.568848 -67.415927
    Unten links KachelX 12768 KachelY + 1 12394 1.75487402 -1.17677715 100.546875 -67.424364
    Unten rechts KachelX + 1 12769 KachelY + 1 12394 1.75525752 -1.17677715 100.568848 -67.424364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17662990--1.17677715) × R
    0.000147249999999932 × 6371000     		dl = 938.129749999568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17662990--1.17677715) × R
    0.000147249999999932 × 6371000     		dr = 938.129749999568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75487402-1.75525752) × cos(-1.17662990) × R
    0.000383500000000092 × 0.384038670002012 × 6371000     		do = 938.313425584735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75487402-1.75525752) × cos(-1.17677715) × R
    0.000383500000000092 × 0.38390270740939 × 6371000     		du = 937.981231105379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17662990)-sin(-1.17677715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384038670002012-0.38390270740939)×R²
    abs(1.75525752-1.75487402)×0.000135962592621608×R²
    0.000383500000000092×0.000135962592621608×6371000²
    0.000383500000000092×0.000135962592621608×40589641000000     		ar = 880103.920193989m²