Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12768 / 12033
↖ ↑ ↗
← S 64.177679°
E100.546875°		 ← 1 064.25 m → S 64.177679°
E100.568848°		 →
↑
1 064.08 m
↓
↑
1 064.08 m
↓
S 64.187249°
E100.546875°		 ← 1 063.88 m →
1 132 254 m²		 S 64.187249°
E100.568848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779327392578125 y=0.734466552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779327392578125 × 214)
    floor (0.779327392578125 × 16384)
    floor (12768.5)     		tx = 12768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734466552734375 × 214)
    floor (0.734466552734375 × 16384)
    floor (12033.5)     		ty = 12033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12768 / 12033 ti = "14/12768/12033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12768/12033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12768 ÷ 214
    12768 ÷ 16384     		x = 0.779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12033 ÷ 214
    12033 ÷ 16384     		y = 0.73443603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779296875 × 2 - 1) × π
    0.55859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75487402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.4688720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47300505152509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75487402} λ = 1.75487402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47300505152509))-π/2
    2×atan(0.229235584369728)-π/2
    2×0.225342257154253-π/2
    0.450684514308506-1.57079632675     		φ = -1.12011181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75487402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12011181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.177679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12768 KachelY 12033 1.75487402 -1.12011181 100.546875 -64.177679
    Oben rechts KachelX + 1 12769 KachelY 12033 1.75525752 -1.12011181 100.568848 -64.177679
    Unten links KachelX 12768 KachelY + 1 12034 1.75487402 -1.12027883 100.546875 -64.187249
    Unten rechts KachelX + 1 12769 KachelY + 1 12034 1.75525752 -1.12027883 100.568848 -64.187249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12011181--1.12027883) × R
    0.000167019999999907 × 6371000     		dl = 1064.08441999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12011181--1.12027883) × R
    0.000167019999999907 × 6371000     		dr = 1064.08441999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75487402-1.75525752) × cos(-1.12011181) × R
    0.000383500000000092 × 0.435581803323145 × 6371000     		do = 1064.24765505093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75487402-1.75525752) × cos(-1.12027883) × R
    0.000383500000000092 × 0.435431454337352 × 6371000     		du = 1063.88031060644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12011181)-sin(-1.12027883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435581803323145-0.435431454337352)×R²
    abs(1.75525752-1.75487402)×0.000150348985793469×R²
    0.000383500000000092×0.000150348985793469×6371000²
    0.000383500000000092×0.000150348985793469×40589641000000     		ar = 1132253.90864209m²