Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12767 / 12127
↖ ↑ ↗
← S 65.062868°
E100.524903°		 ← 1 030.12 m → S 65.062868°
E100.546875°		 →
↑
1 029.94 m
↓
↑
1 029.94 m
↓
S 65.072130°
E100.524903°		 ← 1 029.76 m →
1 060 770 m²		 S 65.072130°
E100.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779266357421875 y=0.740203857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779266357421875 × 214)
    floor (0.779266357421875 × 16384)
    floor (12767.5)     		tx = 12767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740203857421875 × 214)
    floor (0.740203857421875 × 16384)
    floor (12127.5)     		ty = 12127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12767 / 12127 ti = "14/12767/12127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12767/12127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12767 ÷ 214
    12767 ÷ 16384     		x = 0.77923583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12127 ÷ 214
    12127 ÷ 16384     		y = 0.74017333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77923583984375 × 2 - 1) × π
    0.5584716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75449053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74017333984375 × 2 - 1) × π
    -0.4803466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50905360003937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75449053} λ = 1.75449053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50905360003937))-π/2
    2×atan(0.221119146116578)-π/2
    2×0.21761753401742-π/2
    0.435235068034841-1.57079632675     		φ = -1.13556126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75449053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.524903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13556126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.062868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12767 KachelY 12127 1.75449053 -1.13556126 100.524903 -65.062868
    Oben rechts KachelX + 1 12768 KachelY 12127 1.75487402 -1.13556126 100.546875 -65.062868
    Unten links KachelX 12767 KachelY + 1 12128 1.75449053 -1.13572292 100.524903 -65.072130
    Unten rechts KachelX + 1 12768 KachelY + 1 12128 1.75487402 -1.13572292 100.546875 -65.072130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13556126--1.13572292) × R
    0.000161660000000063 × 6371000     		dl = 1029.9358600004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13556126--1.13572292) × R
    0.000161660000000063 × 6371000     		dr = 1029.9358600004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75449053-1.75487402) × cos(-1.13556126) × R
    0.000383489999999931 × 0.421623564756106 × 6371000     		do = 1030.11692922445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75449053-1.75487402) × cos(-1.13572292) × R
    0.000383489999999931 × 0.421476970654384 × 6371000     		du = 1029.758768347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13556126)-sin(-1.13572292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421623564756106-0.421476970654384)×R²
    abs(1.75487402-1.75449053)×0.000146594101721464×R²
    0.000383489999999931×0.000146594101721464×6371000²
    0.000383489999999931×0.000146594101721464×40589641000000     		ar = 1060769.92634536m²