Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12766 / 12026
↖ ↑ ↗
← S 64.110602°
E100.502930°		 ← 1 066.82 m → S 64.110602°
E100.524903°		 →
↑
1 066.63 m
↓
↑
1 066.63 m
↓
S 64.120194°
E100.502930°		 ← 1 066.45 m →
1 137 711 m²		 S 64.120194°
E100.524903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779205322265625 y=0.734039306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779205322265625 × 214)
    floor (0.779205322265625 × 16384)
    floor (12766.5)     		tx = 12766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734039306640625 × 214)
    floor (0.734039306640625 × 16384)
    floor (12026.5)     		ty = 12026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12766 / 12026 ti = "14/12766/12026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12766/12026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12766 ÷ 214
    12766 ÷ 16384     		x = 0.7791748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12026 ÷ 214
    12026 ÷ 16384     		y = 0.7340087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7791748046875 × 2 - 1) × π
    0.558349609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75410703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7340087890625 × 2 - 1) × π
    -0.468017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47032058514636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75410703} λ = 1.75410703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47032058514636))-π/2
    2×atan(0.229851786305417)-π/2
    2×0.225927616322889-π/2
    0.451855232645779-1.57079632675     		φ = -1.11894109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75410703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.502930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11894109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.110602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12766 KachelY 12026 1.75410703 -1.11894109 100.502930 -64.110602
    Oben rechts KachelX + 1 12767 KachelY 12026 1.75449053 -1.11894109 100.524903 -64.110602
    Unten links KachelX 12766 KachelY + 1 12027 1.75410703 -1.11910851 100.502930 -64.120194
    Unten rechts KachelX + 1 12767 KachelY + 1 12027 1.75449053 -1.11910851 100.524903 -64.120194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11894109--1.11910851) × R
    0.000167419999999918 × 6371000     		dl = 1066.63281999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11894109--1.11910851) × R
    0.000167419999999918 × 6371000     		dr = 1066.63281999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75410703-1.75449053) × cos(-1.11894109) × R
    0.000383500000000092 × 0.436635327194569 × 6371000     		do = 1066.82170727521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75410703-1.75449053) × cos(-1.11910851) × R
    0.000383500000000092 × 0.436484703583355 × 6371000     		du = 1066.45369184434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11894109)-sin(-1.11910851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436635327194569-0.436484703583355)×R²
    abs(1.75449053-1.75410703)×0.000150623611213319×R²
    0.000383500000000092×0.000150623611213319×6371000²
    0.000383500000000092×0.000150623611213319×40589641000000     		ar = 1137710.78005663m²