Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12766 / 12002
↖ ↑ ↗
← S 63.879390°
E100.502930°		 ← 1 075.68 m → S 63.879390°
E100.524903°		 →
↑
1 075.49 m
↓
↑
1 075.49 m
↓
S 63.889062°
E100.502930°		 ← 1 075.31 m →
1 156 686 m²		 S 63.889062°
E100.524903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779205322265625 y=0.732574462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779205322265625 × 214)
    floor (0.779205322265625 × 16384)
    floor (12766.5)     		tx = 12766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732574462890625 × 214)
    floor (0.732574462890625 × 16384)
    floor (12002.5)     		ty = 12002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12766 / 12002 ti = "14/12766/12002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12766/12002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12766 ÷ 214
    12766 ÷ 16384     		x = 0.7791748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12002 ÷ 214
    12002 ÷ 16384     		y = 0.7325439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7791748046875 × 2 - 1) × π
    0.558349609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75410703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7325439453125 × 2 - 1) × π
    -0.465087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.46111670041931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75410703} λ = 1.75410703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46111670041931))-π/2
    2×atan(0.231977081132123)-π/2
    2×0.227945323423755-π/2
    0.45589064684751-1.57079632675     		φ = -1.11490568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75410703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.502930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11490568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.879390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12766 KachelY 12002 1.75410703 -1.11490568 100.502930 -63.879390
    Oben rechts KachelX + 1 12767 KachelY 12002 1.75449053 -1.11490568 100.524903 -63.879390
    Unten links KachelX 12766 KachelY + 1 12003 1.75410703 -1.11507449 100.502930 -63.889062
    Unten rechts KachelX + 1 12767 KachelY + 1 12003 1.75449053 -1.11507449 100.524903 -63.889062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11490568--1.11507449) × R
    0.00016881000000013 × 6371000     		dl = 1075.48851000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11490568--1.11507449) × R
    0.00016881000000013 × 6371000     		dr = 1075.48851000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75410703-1.75449053) × cos(-1.11490568) × R
    0.000383500000000092 × 0.440262172703705 × 6371000     		do = 1075.68310093051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75410703-1.75449053) × cos(-1.11507449) × R
    0.000383500000000092 × 0.440110597120553 × 6371000     		du = 1075.31275956707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11490568)-sin(-1.11507449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440262172703705-0.440110597120553)×R²
    abs(1.75449053-1.75410703)×0.000151575583151875×R²
    0.000383500000000092×0.000151575583151875×6371000²
    0.000383500000000092×0.000151575583151875×40589641000000     		ar = 1156685.66925964m²