Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12765 / 12095
↖ ↑ ↗
← S 64.764759°
E100.480957°		 ← 1 041.63 m → S 64.764759°
E100.502930°		 →
↑
1 041.47 m
↓
↑
1 041.47 m
↓
S 64.774125°
E100.480957°		 ← 1 041.27 m →
1 084 635 m²		 S 64.774125°
E100.502930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779144287109375 y=0.738250732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779144287109375 × 214)
    floor (0.779144287109375 × 16384)
    floor (12765.5)     		tx = 12765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738250732421875 × 214)
    floor (0.738250732421875 × 16384)
    floor (12095.5)     		ty = 12095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12765 / 12095 ti = "14/12765/12095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12765/12095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12765 ÷ 214
    12765 ÷ 16384     		x = 0.77911376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12095 ÷ 214
    12095 ÷ 16384     		y = 0.73822021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77911376953125 × 2 - 1) × π
    0.5582275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75372354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73822021484375 × 2 - 1) × π
    -0.4764404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49678175373663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75372354} λ = 1.75372354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49678175373663))-π/2
    2×atan(0.223849404684818)-π/2
    2×0.220219019678137-π/2
    0.440438039356274-1.57079632675     		φ = -1.13035829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75372354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.480957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13035829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.764759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12765 KachelY 12095 1.75372354 -1.13035829 100.480957 -64.764759
    Oben rechts KachelX + 1 12766 KachelY 12095 1.75410703 -1.13035829 100.502930 -64.764759
    Unten links KachelX 12765 KachelY + 1 12096 1.75372354 -1.13052176 100.480957 -64.774125
    Unten rechts KachelX + 1 12766 KachelY + 1 12096 1.75410703 -1.13052176 100.502930 -64.774125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13035829--1.13052176) × R
    0.000163469999999943 × 6371000     		dl = 1041.46736999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13035829--1.13052176) × R
    0.000163469999999943 × 6371000     		dr = 1041.46736999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75372354-1.75410703) × cos(-1.13035829) × R
    0.000383489999999931 × 0.42633573870823 × 6371000     		do = 1041.62978231734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75372354-1.75410703) × cos(-1.13052176) × R
    0.000383489999999931 × 0.426187863772093 × 6371000     		du = 1041.2684920863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13035829)-sin(-1.13052176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42633573870823-0.426187863772093)×R²
    abs(1.75410703-1.75372354)×0.000147874936137438×R²
    0.000383489999999931×0.000147874936137438×6371000²
    0.000383489999999931×0.000147874936137438×40589641000000     		ar = 1084635.29632451m²