Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12765 / 12060
↖ ↑ ↗
← S 64.434892°
E100.480957°		 ← 1 054.34 m → S 64.434892°
E100.502930°		 →
↑
1 054.15 m
↓
↑
1 054.15 m
↓
S 64.444372°
E100.480957°		 ← 1 053.97 m →
1 111 232 m²		 S 64.444372°
E100.502930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779144287109375 y=0.736114501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779144287109375 × 214)
    floor (0.779144287109375 × 16384)
    floor (12765.5)     		tx = 12765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736114501953125 × 214)
    floor (0.736114501953125 × 16384)
    floor (12060.5)     		ty = 12060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12765 / 12060 ti = "14/12765/12060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12765/12060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12765 ÷ 214
    12765 ÷ 16384     		x = 0.77911376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12060 ÷ 214
    12060 ÷ 16384     		y = 0.736083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77911376953125 × 2 - 1) × π
    0.5582275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75372354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736083984375 × 2 - 1) × π
    -0.47216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48335942184302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75372354} λ = 1.75372354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48335942184302))-π/2
    2×atan(0.226874240450997)-π/2
    2×0.223097653747519-π/2
    0.446195307495039-1.57079632675     		φ = -1.12460102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75372354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.480957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12460102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.434892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12765 KachelY 12060 1.75372354 -1.12460102 100.480957 -64.434892
    Oben rechts KachelX + 1 12766 KachelY 12060 1.75410703 -1.12460102 100.502930 -64.434892
    Unten links KachelX 12765 KachelY + 1 12061 1.75372354 -1.12476648 100.480957 -64.444372
    Unten rechts KachelX + 1 12766 KachelY + 1 12061 1.75410703 -1.12476648 100.502930 -64.444372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12460102--1.12476648) × R
    0.00016545999999984 × 6371000     		dl = 1054.14565999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12460102--1.12476648) × R
    0.00016545999999984 × 6371000     		dr = 1054.14565999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75372354-1.75410703) × cos(-1.12460102) × R
    0.000383489999999931 × 0.431536469195384 × 6371000     		do = 1054.33628396235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75372354-1.75410703) × cos(-1.12476648) × R
    0.000383489999999931 × 0.431387202568955 × 6371000     		du = 1053.97159353301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12460102)-sin(-1.12476648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431536469195384-0.431387202568955)×R²
    abs(1.75410703-1.75372354)×0.000149266626429057×R²
    0.000383489999999931×0.000149266626429057×6371000²
    0.000383489999999931×0.000149266626429057×40589641000000     		ar = 1111231.80203726m²