Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12765 / 12037
↖ ↑ ↗
← S 64.215937°
E100.480957°		 ← 1 062.75 m → S 64.215937°
E100.502930°		 →
↑
1 062.56 m
↓
↑
1 062.56 m
↓
S 64.225493°
E100.480957°		 ← 1 062.38 m →
1 129 037 m²		 S 64.225493°
E100.502930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779144287109375 y=0.734710693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779144287109375 × 214)
    floor (0.779144287109375 × 16384)
    floor (12765.5)     		tx = 12765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734710693359375 × 214)
    floor (0.734710693359375 × 16384)
    floor (12037.5)     		ty = 12037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12765 / 12037 ti = "14/12765/12037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12765/12037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12765 ÷ 214
    12765 ÷ 16384     		x = 0.77911376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12037 ÷ 214
    12037 ÷ 16384     		y = 0.73468017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77911376953125 × 2 - 1) × π
    0.5582275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75372354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73468017578125 × 2 - 1) × π
    -0.4693603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47453903231293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75372354} λ = 1.75372354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47453903231293))-π/2
    2×atan(0.228884210956349)-π/2
    2×0.225008400671369-π/2
    0.450016801342738-1.57079632675     		φ = -1.12077953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75372354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.480957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12077953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.215937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12765 KachelY 12037 1.75372354 -1.12077953 100.480957 -64.215937
    Oben rechts KachelX + 1 12766 KachelY 12037 1.75410703 -1.12077953 100.502930 -64.215937
    Unten links KachelX 12765 KachelY + 1 12038 1.75372354 -1.12094631 100.480957 -64.225493
    Unten rechts KachelX + 1 12766 KachelY + 1 12038 1.75410703 -1.12094631 100.502930 -64.225493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12077953--1.12094631) × R
    0.000166779999999811 × 6371000     		dl = 1062.5553799988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12077953--1.12094631) × R
    0.000166779999999811 × 6371000     		dr = 1062.5553799988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75372354-1.75410703) × cos(-1.12077953) × R
    0.000383489999999931 × 0.434980658675164 × 6371000     		do = 1062.75117863891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75372354-1.75410703) × cos(-1.12094631) × R
    0.000383489999999931 × 0.434830477277033 × 6371000     		du = 1062.38425322581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12077953)-sin(-1.12094631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434980658675164-0.434830477277033)×R²
    abs(1.75410703-1.75372354)×0.000150181398130778×R²
    0.000383489999999931×0.000150181398130778×6371000²
    0.000383489999999931×0.000150181398130778×40589641000000     		ar = 1129037.04579341m²