Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12764 / 12441
↖ ↑ ↗
← S 67.817542°
E100.458984°		 ← 922.48 m → S 67.817542°
E100.480957°		 →
↑
922.27 m
↓
↑
922.27 m
↓
S 67.825836°
E100.458984°		 ← 922.15 m →
850 619 m²		 S 67.825836°
E100.480957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779083251953125 y=0.759368896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779083251953125 × 214)
    floor (0.779083251953125 × 16384)
    floor (12764.5)     		tx = 12764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759368896484375 × 214)
    floor (0.759368896484375 × 16384)
    floor (12441.5)     		ty = 12441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12764 / 12441 ti = "14/12764/12441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12764/12441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12764 ÷ 214
    12764 ÷ 16384     		x = 0.779052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12441 ÷ 214
    12441 ÷ 16384     		y = 0.75933837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779052734375 × 2 - 1) × π
    0.55810546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75334004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75933837890625 × 2 - 1) × π
    -0.5186767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62947109188495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75334004} λ = 1.75334004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62947109188495))-π/2
    2×atan(0.196033230278517)-π/2
    2×0.193578464885218-π/2
    0.387156929770437-1.57079632675     		φ = -1.18363940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75334004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18363940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.817542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12764 KachelY 12441 1.75334004 -1.18363940 100.458984 -67.817542
    Oben rechts KachelX + 1 12765 KachelY 12441 1.75372354 -1.18363940 100.480957 -67.817542
    Unten links KachelX 12764 KachelY + 1 12442 1.75334004 -1.18378416 100.458984 -67.825836
    Unten rechts KachelX + 1 12765 KachelY + 1 12442 1.75372354 -1.18378416 100.480957 -67.825836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18363940--1.18378416) × R
    0.000144760000000188 × 6371000     		dl = 922.265960001198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18363940--1.18378416) × R
    0.000144760000000188 × 6371000     		dr = 922.265960001198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75334004-1.75372354) × cos(-1.18363940) × R
    0.00038349999999987 × 0.377557297957591 × 6371000     		do = 922.477628617563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75334004-1.75372354) × cos(-1.18378416) × R
    0.00038349999999987 × 0.377423248236351 × 6371000     		du = 922.150107815728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18363940)-sin(-1.18378416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377557297957591-0.377423248236351)×R²
    abs(1.75372354-1.75334004)×0.000134049721239426×R²
    0.00038349999999987×0.000134049721239426×6371000²
    0.00038349999999987×0.000134049721239426×40589641000000     		ar = 850618.686577456m²