Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12763 / 12460
↖ ↑ ↗
← S 67.974634°
E100.437012°		 ← 916.25 m → S 67.974634°
E100.458984°		 →
↑
916.09 m
↓
↑
916.09 m
↓
S 67.982872°
E100.437012°		 ← 915.92 m →
839 212 m²		 S 67.982872°
E100.458984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779022216796875 y=0.760528564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779022216796875 × 214)
    floor (0.779022216796875 × 16384)
    floor (12763.5)     		tx = 12763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760528564453125 × 214)
    floor (0.760528564453125 × 16384)
    floor (12460.5)     		ty = 12460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12763 / 12460 ti = "14/12763/12460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12763/12460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12763 ÷ 214
    12763 ÷ 16384     		x = 0.77899169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12460 ÷ 214
    12460 ÷ 16384     		y = 0.760498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77899169921875 × 2 - 1) × π
    0.5579833984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75295655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760498046875 × 2 - 1) × π
    -0.52099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6367575006272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75295655} λ = 1.75295655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6367575006272))-π/2
    2×atan(0.194610043293309)-π/2
    2×0.192207578168376-π/2
    0.384415156336752-1.57079632675     		φ = -1.18638117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75295655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.437012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18638117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.974634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12763 KachelY 12460 1.75295655 -1.18638117 100.437012 -67.974634
    Oben rechts KachelX + 1 12764 KachelY 12460 1.75334004 -1.18638117 100.458984 -67.974634
    Unten links KachelX 12763 KachelY + 1 12461 1.75295655 -1.18652496 100.437012 -67.982872
    Unten rechts KachelX + 1 12764 KachelY + 1 12461 1.75334004 -1.18652496 100.458984 -67.982872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18638117--1.18652496) × R
    0.000143790000000088 × 6371000     		dl = 916.086090000561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18638117--1.18652496) × R
    0.000143790000000088 × 6371000     		dr = 916.086090000561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75295655-1.75334004) × cos(-1.18638117) × R
    0.000383490000000153 × 0.375017040784134 × 6371000     		do = 916.247180546195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75295655-1.75334004) × cos(-1.18652496) × R
    0.000383490000000153 × 0.37488374100141 × 6371000     		du = 915.921500545541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18638117)-sin(-1.18652496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375017040784134-0.37488374100141)×R²
    abs(1.75334004-1.75295655)×0.000133299782723528×R²
    0.000383490000000153×0.000133299782723528×6371000²
    0.000383490000000153×0.000133299782723528×40589641000000     		ar = 839212.123088123m²