Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12762 / 12442
↖ ↑ ↗
← S 67.825836°
E100.415039°		 ← 922.15 m → S 67.825836°
E100.437012°		 →
↑
922.01 m
↓
↑
922.01 m
↓
S 67.834128°
E100.415039°		 ← 921.82 m →
850 082 m²		 S 67.834128°
E100.437012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778961181640625 y=0.759429931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778961181640625 × 214)
    floor (0.778961181640625 × 16384)
    floor (12762.5)     		tx = 12762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759429931640625 × 214)
    floor (0.759429931640625 × 16384)
    floor (12442.5)     		ty = 12442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12762 / 12442 ti = "14/12762/12442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12762/12442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12762 ÷ 214
    12762 ÷ 16384     		x = 0.7789306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12442 ÷ 214
    12442 ÷ 16384     		y = 0.7593994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7789306640625 × 2 - 1) × π
    0.557861328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75257305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7593994140625 × 2 - 1) × π
    -0.518798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62985458708191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75257305} λ = 1.75257305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62985458708191))-π/2
    2×atan(0.195958066889581)-π/2
    2×0.193506082032515-π/2
    0.387012164065029-1.57079632675     		φ = -1.18378416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75257305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.415039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18378416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.825836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12762 KachelY 12442 1.75257305 -1.18378416 100.415039 -67.825836
    Oben rechts KachelX + 1 12763 KachelY 12442 1.75295655 -1.18378416 100.437012 -67.825836
    Unten links KachelX 12762 KachelY + 1 12443 1.75257305 -1.18392888 100.415039 -67.834128
    Unten rechts KachelX + 1 12763 KachelY + 1 12443 1.75295655 -1.18392888 100.437012 -67.834128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18378416--1.18392888) × R
    0.000144719999999987 × 6371000     		dl = 922.011119999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18378416--1.18392888) × R
    0.000144719999999987 × 6371000     		dr = 922.011119999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75257305-1.75295655) × cos(-1.18378416) × R
    0.00038349999999987 × 0.377423248236351 × 6371000     		do = 922.150107815728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75257305-1.75295655) × cos(-1.18392888) × R
    0.00038349999999987 × 0.377289227649855 × 6371000     		du = 921.822658198184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18378416)-sin(-1.18392888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377423248236351-0.377289227649855)×R²
    abs(1.75295655-1.75257305)×0.000134020586496586×R²
    0.00038349999999987×0.000134020586496586×6371000²
    0.00038349999999987×0.000134020586496586×40589641000000     		ar = 850081.699105446m²