Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12762 / 12213
↖ ↑ ↗
← S 65.847768°
E100.415039°		 ← 999.70 m → S 65.847768°
E100.437012°		 →
↑
999.55 m
↓
↑
999.55 m
↓
S 65.856757°
E100.415039°		 ← 999.35 m →
999 069 m²		 S 65.856757°
E100.437012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778961181640625 y=0.745452880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778961181640625 × 214)
    floor (0.778961181640625 × 16384)
    floor (12762.5)     		tx = 12762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745452880859375 × 214)
    floor (0.745452880859375 × 16384)
    floor (12213.5)     		ty = 12213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12762 / 12213 ti = "14/12762/12213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12762/12213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12762 ÷ 214
    12762 ÷ 16384     		x = 0.7789306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12213 ÷ 214
    12213 ÷ 16384     		y = 0.74542236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7789306640625 × 2 - 1) × π
    0.557861328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75257305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74542236328125 × 2 - 1) × π
    -0.4908447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54203418697797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75257305} λ = 1.75257305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54203418697797))-π/2
    2×atan(0.2139454534271)-π/2
    2×0.210767987976747-π/2
    0.421535975953494-1.57079632675     		φ = -1.14926035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75257305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.415039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14926035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.847768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12762 KachelY 12213 1.75257305 -1.14926035 100.415039 -65.847768
    Oben rechts KachelX + 1 12763 KachelY 12213 1.75295655 -1.14926035 100.437012 -65.847768
    Unten links KachelX 12762 KachelY + 1 12214 1.75257305 -1.14941724 100.415039 -65.856757
    Unten rechts KachelX + 1 12763 KachelY + 1 12214 1.75295655 -1.14941724 100.437012 -65.856757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14926035--1.14941724) × R
    0.000156889999999965 × 6371000     		dl = 999.546189999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14926035--1.14941724) × R
    0.000156889999999965 × 6371000     		dr = 999.546189999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75257305-1.75295655) × cos(-1.14926035) × R
    0.00038349999999987 × 0.40916245493293 × 6371000     		do = 999.697829144507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75257305-1.75295655) × cos(-1.14941724) × R
    0.00038349999999987 × 0.409019293804828 × 6371000     		du = 999.34804663818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14926035)-sin(-1.14941724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40916245493293-0.409019293804828)×R²
    abs(1.75295655-1.75257305)×0.000143161128101976×R²
    0.00038349999999987×0.000143161128101976×6371000²
    0.00038349999999987×0.000143161128101976×40589641000000     		ar = 999069.34643549m²