Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12762 / 12010
↖ ↑ ↗
← S 63.956673°
E100.415039°		 ← 1 072.72 m → S 63.956673°
E100.437012°		 →
↑
1 072.49 m
↓
↑
1 072.49 m
↓
S 63.966319°
E100.415039°		 ← 1 072.35 m →
1 150 291 m²		 S 63.966319°
E100.437012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778961181640625 y=0.733062744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778961181640625 × 214)
    floor (0.778961181640625 × 16384)
    floor (12762.5)     		tx = 12762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733062744140625 × 214)
    floor (0.733062744140625 × 16384)
    floor (12010.5)     		ty = 12010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12762 / 12010 ti = "14/12762/12010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12762/12010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12762 ÷ 214
    12762 ÷ 16384     		x = 0.7789306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12010 ÷ 214
    12010 ÷ 16384     		y = 0.7330322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7789306640625 × 2 - 1) × π
    0.557861328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75257305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7330322265625 × 2 - 1) × π
    -0.466064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.464184661995
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75257305} λ = 1.75257305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.464184661995))-π/2
    2×atan(0.231266474974339)-π/2
    2×0.227270899234547-π/2
    0.454541798469094-1.57079632675     		φ = -1.11625453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75257305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.415039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11625453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.956673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12762 KachelY 12010 1.75257305 -1.11625453 100.415039 -63.956673
    Oben rechts KachelX + 1 12763 KachelY 12010 1.75295655 -1.11625453 100.437012 -63.956673
    Unten links KachelX 12762 KachelY + 1 12011 1.75257305 -1.11642287 100.415039 -63.966319
    Unten rechts KachelX + 1 12763 KachelY + 1 12011 1.75295655 -1.11642287 100.437012 -63.966319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11625453--1.11642287) × R
    0.0001683400000001 × 6371000     		dl = 1072.49414000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11625453--1.11642287) × R
    0.0001683400000001 × 6371000     		dr = 1072.49414000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75257305-1.75295655) × cos(-1.11625453) × R
    0.00038349999999987 × 0.43905068160553 × 6371000     		do = 1072.72309077677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75257305-1.75295655) × cos(-1.11642287) × R
    0.00038349999999987 × 0.438899428242194 × 6371000     		du = 1072.35353668608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11625453)-sin(-1.11642287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43905068160553-0.438899428242194)×R²
    abs(1.75295655-1.75257305)×0.000151253363335935×R²
    0.00038349999999987×0.000151253363335935×6371000²
    0.00038349999999987×0.000151253363335935×40589641000000     		ar = 1150291.05911938m²