Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12761 / 20518
↖ ↑ ↗
← S 41.294317°
W 39.803467°		 ← 917.85 m → S 41.294317°
W 39.792480°		 →
↑
917.81 m
↓
↑
917.81 m
↓
S 41.302571°
W 39.803467°		 ← 917.74 m →
842 359 m²		 S 41.302571°
W 39.792480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.389450073242188 y=0.626174926757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.389450073242188 × 215)
    floor (0.389450073242188 × 32768)
    floor (12761.5)     		tx = 12761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626174926757812 × 215)
    floor (0.626174926757812 × 32768)
    floor (20518.5)     		ty = 20518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12761 / 20518 ti = "15/12761/20518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12761/20518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12761 ÷ 215
    12761 ÷ 32768     		x = 0.389434814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20518 ÷ 215
    20518 ÷ 32768     		y = 0.62615966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.389434814453125 × 2 - 1) × π
    -0.22113037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.69470155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62615966796875 × 2 - 1) × π
    -0.2523193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.792684572117249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69470155} λ = -0.69470155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.792684572117249))-π/2
    2×atan(0.45262805015016)-π/2
    2×0.425037264103387-π/2
    0.850074528206773-1.57079632675     		φ = -0.72072180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69470155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.803467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72072180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.294317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12761 KachelY 20518 -0.69470155 -0.72072180 -39.803467 -41.294317
    Oben rechts KachelX + 1 12762 KachelY 20518 -0.69450980 -0.72072180 -39.792480 -41.294317
    Unten links KachelX 12761 KachelY + 1 20519 -0.69470155 -0.72086586 -39.803467 -41.302571
    Unten rechts KachelX + 1 12762 KachelY + 1 20519 -0.69450980 -0.72086586 -39.792480 -41.302571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72072180--0.72086586) × R
    0.000144060000000001 × 6371000     		dl = 917.806260000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72072180--0.72086586) × R
    0.000144060000000001 × 6371000     		dr = 917.806260000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69470155--0.69450980) × cos(-0.72072180) × R
    0.000191750000000046 × 0.751329589482399 × 6371000     		do = 917.853716198306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69470155--0.69450980) × cos(-0.72086586) × R
    0.000191750000000046 × 0.751234512580712 × 6371000     		du = 917.737566523437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72072180)-sin(-0.72086586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751329589482399-0.751234512580712)×R²
    abs(-0.69450980--0.69470155)×9.50769016869746e-05×R²
    0.000191750000000046×9.50769016869746e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.50769016869746e-05×40589641000000     		ar = 842358.586498883m²