Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12760 / 12088
↖ ↑ ↗
← S 64.699105°
E100.371094°		 ← 1 044.16 m → S 64.699105°
E100.393066°		 →
↑
1 044.02 m
↓
↑
1 044.02 m
↓
S 64.708494°
E100.371094°		 ← 1 043.80 m →
1 089 932 m²		 S 64.708494°
E100.393066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778839111328125 y=0.737823486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778839111328125 × 214)
    floor (0.778839111328125 × 16384)
    floor (12760.5)     		tx = 12760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737823486328125 × 214)
    floor (0.737823486328125 × 16384)
    floor (12088.5)     		ty = 12088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12760 / 12088 ti = "14/12760/12088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12760/12088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12760 ÷ 214
    12760 ÷ 16384     		x = 0.77880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12088 ÷ 214
    12088 ÷ 16384     		y = 0.73779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77880859375 × 2 - 1) × π
    0.5576171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75180606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73779296875 × 2 - 1) × π
    -0.4755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.49409728735791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75180606} λ = 1.75180606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49409728735791))-π/2
    2×atan(0.224451128177482)-π/2
    2×0.220791956877217-π/2
    0.441583913754434-1.57079632675     		φ = -1.12921241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75180606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12921241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.699105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12760 KachelY 12088 1.75180606 -1.12921241 100.371094 -64.699105
    Oben rechts KachelX + 1 12761 KachelY 12088 1.75218955 -1.12921241 100.393066 -64.699105
    Unten links KachelX 12760 KachelY + 1 12089 1.75180606 -1.12937628 100.371094 -64.708494
    Unten rechts KachelX + 1 12761 KachelY + 1 12089 1.75218955 -1.12937628 100.393066 -64.708494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12921241--1.12937628) × R
    0.000163869999999955 × 6371000     		dl = 1044.01576999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12921241--1.12937628) × R
    0.000163869999999955 × 6371000     		dr = 1044.01576999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75180606-1.75218955) × cos(-1.12921241) × R
    0.000383489999999931 × 0.427371981524642 × 6371000     		do = 1044.16154609242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75180606-1.75218955) × cos(-1.12937628) × R
    0.000383489999999931 × 0.427223824873329 × 6371000     		du = 1043.7995675707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12921241)-sin(-1.12937628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427371981524642-0.427223824873329)×R²
    abs(1.75218955-1.75180606)×0.00014815665131318×R²
    0.000383489999999931×0.00014815665131318×6371000²
    0.000383489999999931×0.00014815665131318×40589641000000     		ar = 1089932.16734358m²