Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12760 / 12062
↖ ↑ ↗
← S 64.453850°
E100.371094°		 ← 1 053.61 m → S 64.453850°
E100.393066°		 →
↑
1 053.44 m
↓
↑
1 053.44 m
↓
S 64.463323°
E100.371094°		 ← 1 053.24 m →
1 109 725 m²		 S 64.463323°
E100.393066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778839111328125 y=0.736236572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778839111328125 × 214)
    floor (0.778839111328125 × 16384)
    floor (12760.5)     		tx = 12760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736236572265625 × 214)
    floor (0.736236572265625 × 16384)
    floor (12062.5)     		ty = 12062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12760 / 12062 ti = "14/12760/12062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12760/12062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12760 ÷ 214
    12760 ÷ 16384     		x = 0.77880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12062 ÷ 214
    12062 ÷ 16384     		y = 0.7362060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77880859375 × 2 - 1) × π
    0.5576171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75180606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7362060546875 × 2 - 1) × π
    -0.472412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48412641223694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75180606} λ = 1.75180606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48412641223694))-π/2
    2×atan(0.226700296803024)-π/2
    2×0.222932218825741-π/2
    0.445864437651481-1.57079632675     		φ = -1.12493189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75180606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12493189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.453850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12760 KachelY 12062 1.75180606 -1.12493189 100.371094 -64.453850
    Oben rechts KachelX + 1 12761 KachelY 12062 1.75218955 -1.12493189 100.393066 -64.453850
    Unten links KachelX 12760 KachelY + 1 12063 1.75180606 -1.12509724 100.371094 -64.463323
    Unten rechts KachelX + 1 12761 KachelY + 1 12063 1.75218955 -1.12509724 100.393066 -64.463323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12493189--1.12509724) × R
    0.000165350000000064 × 6371000     		dl = 1053.44485000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12493189--1.12509724) × R
    0.000165350000000064 × 6371000     		dr = 1053.44485000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75180606-1.75218955) × cos(-1.12493189) × R
    0.000383489999999931 × 0.431237969244345 × 6371000     		do = 1053.60698446716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75180606-1.75218955) × cos(-1.12509724) × R
    0.000383489999999931 × 0.431088778259434 × 6371000     		du = 1053.24247884629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12493189)-sin(-1.12509724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431237969244345-0.431088778259434)×R²
    abs(1.75218955-1.75180606)×0.000149190984910785×R²
    0.000383489999999931×0.000149190984910785×6371000²
    0.000383489999999931×0.000149190984910785×40589641000000     		ar = 1109724.86095478m²