Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12760 / 12061
↖ ↑ ↗
← S 64.444372°
E100.371094°		 ← 1 053.97 m → S 64.444372°
E100.393066°		 →
↑
1 053.83 m
↓
↑
1 053.83 m
↓
S 64.453850°
E100.371094°		 ← 1 053.61 m →
1 110 512 m²		 S 64.453850°
E100.393066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778839111328125 y=0.736175537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778839111328125 × 214)
    floor (0.778839111328125 × 16384)
    floor (12760.5)     		tx = 12760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736175537109375 × 214)
    floor (0.736175537109375 × 16384)
    floor (12061.5)     		ty = 12061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12760 / 12061 ti = "14/12760/12061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12760/12061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12760 ÷ 214
    12760 ÷ 16384     		x = 0.77880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12061 ÷ 214
    12061 ÷ 16384     		y = 0.73614501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77880859375 × 2 - 1) × π
    0.5576171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75180606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73614501953125 × 2 - 1) × π
    -0.4722900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48374291703998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75180606} λ = 1.75180606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48374291703998))-π/2
    2×atan(0.226787251950373)-π/2
    2×0.223014921977474-π/2
    0.446029843954949-1.57079632675     		φ = -1.12476648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75180606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12476648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.444372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12760 KachelY 12061 1.75180606 -1.12476648 100.371094 -64.444372
    Oben rechts KachelX + 1 12761 KachelY 12061 1.75218955 -1.12476648 100.393066 -64.444372
    Unten links KachelX 12760 KachelY + 1 12062 1.75180606 -1.12493189 100.371094 -64.453850
    Unten rechts KachelX + 1 12761 KachelY + 1 12062 1.75218955 -1.12493189 100.393066 -64.453850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12476648--1.12493189) × R
    0.000165410000000143 × 6371000     		dl = 1053.82711000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12476648--1.12493189) × R
    0.000165410000000143 × 6371000     		dr = 1053.82711000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75180606-1.75218955) × cos(-1.12476648) × R
    0.000383489999999931 × 0.431387202568955 × 6371000     		do = 1053.97159353301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75180606-1.75218955) × cos(-1.12493189) × R
    0.000383489999999931 × 0.431237969244345 × 6371000     		du = 1053.60698446716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12476648)-sin(-1.12493189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431387202568955-0.431237969244345)×R²
    abs(1.75218955-1.75180606)×0.000149233324609976×R²
    0.000383489999999931×0.000149233324609976×6371000²
    0.000383489999999931×0.000149233324609976×40589641000000     		ar = 1110511.72350961m²