Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12757 / 12005
↖ ↑ ↗
← S 63.908396°
E100.305176°		 ← 1 074.57 m → S 63.908396°
E100.327148°		 →
↑
1 074.41 m
↓
↑
1 074.41 m
↓
S 63.918058°
E100.305176°		 ← 1 074.20 m →
1 154 328 m²		 S 63.918058°
E100.327148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778656005859375 y=0.732757568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778656005859375 × 214)
    floor (0.778656005859375 × 16384)
    floor (12757.5)     		tx = 12757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732757568359375 × 214)
    floor (0.732757568359375 × 16384)
    floor (12005.5)     		ty = 12005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12757 / 12005 ti = "14/12757/12005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12757/12005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12757 ÷ 214
    12757 ÷ 16384     		x = 0.77862548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12005 ÷ 214
    12005 ÷ 16384     		y = 0.73272705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77862548828125 × 2 - 1) × π
    0.5572509765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75065557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73272705078125 × 2 - 1) × π
    -0.4654541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.46226718601019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75065557} λ = 1.75065557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46226718601019))-π/2
    2×atan(0.231710348308422)-π/2
    2×0.227692196552318-π/2
    0.455384393104636-1.57079632675     		φ = -1.11541193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75065557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.305176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11541193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.908396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12757 KachelY 12005 1.75065557 -1.11541193 100.305176 -63.908396
    Oben rechts KachelX + 1 12758 KachelY 12005 1.75103907 -1.11541193 100.327148 -63.908396
    Unten links KachelX 12757 KachelY + 1 12006 1.75065557 -1.11558057 100.305176 -63.918058
    Unten rechts KachelX + 1 12758 KachelY + 1 12006 1.75103907 -1.11558057 100.327148 -63.918058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11541193--1.11558057) × R
    0.000168640000000053 × 6371000     		dl = 1074.40544000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11541193--1.11558057) × R
    0.000168640000000053 × 6371000     		dr = 1074.40544000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75065557-1.75103907) × cos(-1.11541193) × R
    0.000383500000000092 × 0.43980756998989 × 6371000     		do = 1074.5723798938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75065557-1.75103907) × cos(-1.11558057) × R
    0.000383500000000092 × 0.439656109496066 × 6371000     		du = 1074.20231972564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11541193)-sin(-1.11558057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43980756998989-0.439656109496066)×R²
    abs(1.75103907-1.75065557)×0.000151460493824029×R²
    0.000383500000000092×0.000151460493824029×6371000²
    0.000383500000000092×0.000151460493824029×40589641000000     		ar = 1154327.61603801m²