Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12756 / 12028
↖ ↑ ↗
← S 64.129783°
E100.283203°		 ← 1 066.06 m → S 64.129783°
E100.305176°		 →
↑
1 065.93 m
↓
↑
1 065.93 m
↓
S 64.139370°
E100.283203°		 ← 1 065.69 m →
1 136 149 m²		 S 64.139370°
E100.305176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778594970703125 y=0.734161376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778594970703125 × 214)
    floor (0.778594970703125 × 16384)
    floor (12756.5)     		tx = 12756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734161376953125 × 214)
    floor (0.734161376953125 × 16384)
    floor (12028.5)     		ty = 12028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12756 / 12028 ti = "14/12756/12028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12756/12028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12756 ÷ 214
    12756 ÷ 16384     		x = 0.778564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12028 ÷ 214
    12028 ÷ 16384     		y = 0.734130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778564453125 × 2 - 1) × π
    0.55712890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75027208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734130859375 × 2 - 1) × π
    -0.46826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47108757554028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75027208} λ = 1.75027208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47108757554028))-π/2
    2×atan(0.229675559783959)-π/2
    2×0.22576022653395-π/2
    0.451520453067901-1.57079632675     		φ = -1.11927587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75027208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.283203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11927587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.129783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12756 KachelY 12028 1.75027208 -1.11927587 100.283203 -64.129783
    Oben rechts KachelX + 1 12757 KachelY 12028 1.75065557 -1.11927587 100.305176 -64.129783
    Unten links KachelX 12756 KachelY + 1 12029 1.75027208 -1.11944318 100.283203 -64.139370
    Unten rechts KachelX + 1 12757 KachelY + 1 12029 1.75065557 -1.11944318 100.305176 -64.139370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11927587--1.11944318) × R
    0.000167309999999921 × 6371000     		dl = 1065.93200999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11927587--1.11944318) × R
    0.000167309999999921 × 6371000     		dr = 1065.93200999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75027208-1.75065557) × cos(-1.11927587) × R
    0.000383489999999931 × 0.436334121724797 × 6371000     		do = 1066.05797957949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75027208-1.75065557) × cos(-1.11944318) × R
    0.000383489999999931 × 0.43618357263768 × 6371000     		du = 1065.69015582323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11927587)-sin(-1.11944318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436334121724797-0.43618357263768)×R²
    abs(1.75065557-1.75027208)×0.000150549087116314×R²
    0.000383489999999931×0.000150549087116314×6371000²
    0.000383489999999931×0.000150549087116314×40589641000000     		ar = 1136149.29004132m²