Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12756 / 12027
↖ ↑ ↗
← S 64.120194°
E100.283203°		 ← 1 066.43 m → S 64.120194°
E100.305176°		 →
↑
1 066.25 m
↓
↑
1 066.25 m
↓
S 64.129783°
E100.283203°		 ← 1 066.06 m →
1 136 881 m²		 S 64.129783°
E100.305176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778594970703125 y=0.734100341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778594970703125 × 214)
    floor (0.778594970703125 × 16384)
    floor (12756.5)     		tx = 12756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734100341796875 × 214)
    floor (0.734100341796875 × 16384)
    floor (12027.5)     		ty = 12027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12756 / 12027 ti = "14/12756/12027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12756/12027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12756 ÷ 214
    12756 ÷ 16384     		x = 0.778564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12027 ÷ 214
    12027 ÷ 16384     		y = 0.73406982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778564453125 × 2 - 1) × π
    0.55712890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75027208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73406982421875 × 2 - 1) × π
    -0.4681396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47070408034332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75027208} λ = 1.75027208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47070408034332))-π/2
    2×atan(0.229763656149182)-π/2
    2×0.225843906989582-π/2
    0.451687813979163-1.57079632675     		φ = -1.11910851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75027208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.283203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11910851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.120194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12756 KachelY 12027 1.75027208 -1.11910851 100.283203 -64.120194
    Oben rechts KachelX + 1 12757 KachelY 12027 1.75065557 -1.11910851 100.305176 -64.120194
    Unten links KachelX 12756 KachelY + 1 12028 1.75027208 -1.11927587 100.283203 -64.129783
    Unten rechts KachelX + 1 12757 KachelY + 1 12028 1.75065557 -1.11927587 100.305176 -64.129783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11910851--1.11927587) × R
    0.000167360000000061 × 6371000     		dl = 1066.25056000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11910851--1.11927587) × R
    0.000167360000000061 × 6371000     		dr = 1066.25056000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75027208-1.75065557) × cos(-1.11910851) × R
    0.000383489999999931 × 0.436484703583355 × 6371000     		do = 1066.42588340343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75027208-1.75065557) × cos(-1.11927587) × R
    0.000383489999999931 × 0.436334121724797 × 6371000     		du = 1066.05797957949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11910851)-sin(-1.11927587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436484703583355-0.436334121724797)×R²
    abs(1.75065557-1.75027208)×0.000150581858558652×R²
    0.000383489999999931×0.000150581858558652×6371000²
    0.000383489999999931×0.000150581858558652×40589641000000     		ar = 1136881.05920232m²