Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12753 / 12019
↖ ↑ ↗
← S 64.043363°
E100.217285°		 ← 1 069.40 m → S 64.043363°
E100.239258°		 →
↑
1 069.18 m
↓
↑
1 069.18 m
↓
S 64.052978°
E100.217285°		 ← 1 069.03 m →
1 143 186 m²		 S 64.052978°
E100.239258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778411865234375 y=0.733612060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778411865234375 × 214)
    floor (0.778411865234375 × 16384)
    floor (12753.5)     		tx = 12753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733612060546875 × 214)
    floor (0.733612060546875 × 16384)
    floor (12019.5)     		ty = 12019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12753 / 12019 ti = "14/12753/12019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12753/12019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12753 ÷ 214
    12753 ÷ 16384     		x = 0.77838134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12019 ÷ 214
    12019 ÷ 16384     		y = 0.73358154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77838134765625 × 2 - 1) × π
    0.5567626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74912159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73358154296875 × 2 - 1) × π
    -0.4671630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46763611876764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74912159} λ = 1.74912159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46763611876764))-π/2
    2×atan(0.23046964463676)-π/2
    2×0.226514390870854-π/2
    0.453028781741708-1.57079632675     		φ = -1.11776755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74912159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.217285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11776755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.043363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12753 KachelY 12019 1.74912159 -1.11776755 100.217285 -64.043363
    Oben rechts KachelX + 1 12754 KachelY 12019 1.74950509 -1.11776755 100.239258 -64.043363
    Unten links KachelX 12753 KachelY + 1 12020 1.74912159 -1.11793537 100.217285 -64.052978
    Unten rechts KachelX + 1 12754 KachelY + 1 12020 1.74950509 -1.11793537 100.239258 -64.052978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11776755--1.11793537) × R
    0.000167820000000152 × 6371000     		dl = 1069.18122000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11776755--1.11793537) × R
    0.000167820000000152 × 6371000     		dr = 1069.18122000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74912159-1.74950509) × cos(-1.11776755) × R
    0.000383500000000092 × 0.437690788155913 × 6371000     		do = 1069.40049234965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74912159-1.74950509) × cos(-1.11793537) × R
    0.000383500000000092 × 0.437539890741556 × 6371000     		du = 1069.03180794145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11776755)-sin(-1.11793537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437690788155913-0.437539890741556)×R²
    abs(1.74950509-1.74912159)×0.000150897414357754×R²
    0.000383500000000092×0.000150897414357754×6371000²
    0.000383500000000092×0.000150897414357754×40589641000000     		ar = 1143185.83053947m²