Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12748 / 12379
↖ ↑ ↗
← S 67.297497°
E100.107422°		 ← 942.95 m → S 67.297497°
E100.129394°		 →
↑
942.78 m
↓
↑
942.78 m
↓
S 67.305976°
E100.107422°		 ← 942.62 m →
888 838 m²		 S 67.305976°
E100.129394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778106689453125 y=0.755584716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778106689453125 × 214)
    floor (0.778106689453125 × 16384)
    floor (12748.5)     		tx = 12748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755584716796875 × 214)
    floor (0.755584716796875 × 16384)
    floor (12379.5)     		ty = 12379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12748 / 12379 ti = "14/12748/12379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12748/12379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12748 ÷ 214
    12748 ÷ 16384     		x = 0.778076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12379 ÷ 214
    12379 ÷ 16384     		y = 0.75555419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778076171875 × 2 - 1) × π
    0.55615234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74720412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75555419921875 × 2 - 1) × π
    -0.5111083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6056943896734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74720412} λ = 1.74720412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6056943896734))-π/2
    2×atan(0.200750107698763)-π/2
    2×0.198116713100081-π/2
    0.396233426200162-1.57079632675     		φ = -1.17456290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74720412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.107422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17456290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.297497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12748 KachelY 12379 1.74720412 -1.17456290 100.107422 -67.297497
    Oben rechts KachelX + 1 12749 KachelY 12379 1.74758761 -1.17456290 100.129394 -67.297497
    Unten links KachelX 12748 KachelY + 1 12380 1.74720412 -1.17471088 100.107422 -67.305976
    Unten rechts KachelX + 1 12749 KachelY + 1 12380 1.74758761 -1.17471088 100.129394 -67.305976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17456290--1.17471088) × R
    0.000147979999999936 × 6371000     		dl = 942.780579999595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17456290--1.17471088) × R
    0.000147979999999936 × 6371000     		dr = 942.780579999595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74720412-1.74758761) × cos(-1.17456290) × R
    0.000383490000000153 × 0.38594634450134 × 6371000     		do = 942.949817032484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74720412-1.74758761) × cos(-1.17471088) × R
    0.000383490000000153 × 0.385809825584531 × 6371000     		du = 942.616271995823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17456290)-sin(-1.17471088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38594634450134-0.385809825584531)×R²
    abs(1.74758761-1.74720412)×0.00013651891680827×R²
    0.000383490000000153×0.00013651891680827×6371000²
    0.000383490000000153×0.00013651891680827×40589641000000     		ar = 888837.547142387m²