Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12743 / 13128
↖ ↑ ↗
← N 33.651208°
W 40.001221°		 ← 1 016.92 m → N 33.651208°
W 39.990234°		 →
↑
1 016.94 m
↓
↑
1 016.94 m
↓
N 33.642063°
W 40.001221°		 ← 1 017.03 m →
1 034 205 m²		 N 33.642063°
W 39.990234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.388900756835938 y=0.400650024414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.388900756835938 × 215)
    floor (0.388900756835938 × 32768)
    floor (12743.5)     		tx = 12743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.400650024414062 × 215)
    floor (0.400650024414062 × 32768)
    floor (13128.5)     		ty = 13128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12743 / 13128 ti = "15/12743/13128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12743/13128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12743 ÷ 215
    12743 ÷ 32768     		x = 0.388885498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13128 ÷ 215
    13128 ÷ 32768     		y = 0.400634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.388885498046875 × 2 - 1) × π
    -0.22222900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.69815301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.400634765625 × 2 - 1) × π
    0.19873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.624330180651611
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69815301} λ = -0.69815301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.624330180651611))-π/2
    2×atan(1.86699498915054)-π/2
    2×1.07906035443781-π/2
    2.15812070887561-1.57079632675     		φ = 0.58732438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69815301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.001221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58732438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.651208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12743 KachelY 13128 -0.69815301 0.58732438 -40.001221 33.651208
    Oben rechts KachelX + 1 12744 KachelY 13128 -0.69796126 0.58732438 -39.990234 33.651208
    Unten links KachelX 12743 KachelY + 1 13129 -0.69815301 0.58716476 -40.001221 33.642063
    Unten rechts KachelX + 1 12744 KachelY + 1 13129 -0.69796126 0.58716476 -39.990234 33.642063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58732438-0.58716476) × R
    0.000159620000000027 × 6371000     		dl = 1016.93902000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58732438-0.58716476) × R
    0.000159620000000027 × 6371000     		dr = 1016.93902000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69815301--0.69796126) × cos(0.58732438) × R
    0.000191749999999935 × 0.832426313677695 × 6371000     		do = 1016.92465752114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69815301--0.69796126) × cos(0.58716476) × R
    0.000191749999999935 × 0.832514754221642 × 6371000     		du = 1017.03269996092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58732438)-sin(0.58716476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832426313677695-0.832514754221642)×R²
    abs(-0.69796126--0.69815301)×8.84405439472991e-05×R²
    0.000191749999999935×8.84405439472991e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.84405439472991e-05×40589641000000     		ar = 1034205.30311553m²