Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12743 / 12045
↖ ↑ ↗
← S 64.292293°
E 99.997559°		 ← 1 059.85 m → S 64.292293°
E100.019531°		 →
↑
1 059.62 m
↓
↑
1 059.62 m
↓
S 64.301822°
E 99.997559°		 ← 1 059.48 m →
1 122 845 m²		 S 64.301822°
E100.019531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777801513671875 y=0.735198974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777801513671875 × 214)
    floor (0.777801513671875 × 16384)
    floor (12743.5)     		tx = 12743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735198974609375 × 214)
    floor (0.735198974609375 × 16384)
    floor (12045.5)     		ty = 12045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12743 / 12045 ti = "14/12743/12045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12743/12045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12743 ÷ 214
    12743 ÷ 16384     		x = 0.77777099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12045 ÷ 214
    12045 ÷ 16384     		y = 0.73516845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77777099609375 × 2 - 1) × π
    0.5555419921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74528664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73516845703125 × 2 - 1) × π
    -0.4703369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47760699388861
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74528664} λ = 1.74528664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47760699388861))-π/2
    2×atan(0.22818307906465)-π/2
    2×0.224342069687562-π/2
    0.448684139375124-1.57079632675     		φ = -1.12211219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74528664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.997559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12211219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.292293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12743 KachelY 12045 1.74528664 -1.12211219 99.997559 -64.292293
    Oben rechts KachelX + 1 12744 KachelY 12045 1.74567014 -1.12211219 100.019531 -64.292293
    Unten links KachelX 12743 KachelY + 1 12046 1.74528664 -1.12227851 99.997559 -64.301822
    Unten rechts KachelX + 1 12744 KachelY + 1 12046 1.74567014 -1.12227851 100.019531 -64.301822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12211219--1.12227851) × R
    0.000166319999999942 × 6371000     		dl = 1059.62471999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12211219--1.12227851) × R
    0.000166319999999942 × 6371000     		dr = 1059.62471999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74528664-1.74567014) × cos(-1.12211219) × R
    0.000383500000000092 × 0.433780292672553 × 6371000     		do = 1059.84606281081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74528664-1.74567014) × cos(-1.12227851) × R
    0.000383500000000092 × 0.433630429247067 × 6371000     		du = 1059.47990472539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12211219)-sin(-1.12227851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433780292672553-0.433630429247067)×R²
    abs(1.74567014-1.74528664)×0.000149863425485119×R²
    0.000383500000000092×0.000149863425485119×6371000²
    0.000383500000000092×0.000149863425485119×40589641000000     		ar = 1122845.0950573m²