Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 12736 / 14402
↖ ↑ ↗
← N 70.491905°
W110.039063°		 ← 203.99 m → N 70.491905°
W110.033569°		 →
↑
204 m
↓
↑
204 m
↓
N 70.490070°
W110.039063°		 ← 204.01 m →
41 615 m²		 N 70.490070°
W110.033569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.194343566894531 y=0.219764709472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.194343566894531 × 216)
    floor (0.194343566894531 × 65536)
    floor (12736.5)     		tx = 12736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219764709472656 × 216)
    floor (0.219764709472656 × 65536)
    floor (14402.5)     		ty = 14402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 12736 / 14402 ti = "16/12736/14402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/12736/14402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12736 ÷ 216
    12736 ÷ 65536     		x = 0.1943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14402 ÷ 216
    14402 ÷ 65536     		y = 0.219757080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1943359375 × 2 - 1) × π
    -0.611328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.92054395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219757080078125 × 2 - 1) × π
    0.56048583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7608181968439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.92054395} λ = -1.92054395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7608181968439))-π/2
    2×atan(5.8171950584215)-π/2
    2×1.40055608336786-π/2
    2.80111216673571-1.57079632675     		φ = 1.23031584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.92054395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -110.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23031584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.491905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12736 KachelY 14402 -1.92054395 1.23031584 -110.039063 70.491905
    Oben rechts KachelX + 1 12737 KachelY 14402 -1.92044807 1.23031584 -110.033569 70.491905
    Unten links KachelX 12736 KachelY + 1 14403 -1.92054395 1.23028382 -110.039063 70.490070
    Unten rechts KachelX + 1 12737 KachelY + 1 14403 -1.92044807 1.23028382 -110.033569 70.490070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23031584-1.23028382) × R
    3.20200000001325e-05 × 6371000     		dl = 203.999420000844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23031584-1.23028382) × R
    3.20200000001325e-05 × 6371000     		dr = 203.999420000844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.92054395--1.92044807) × cos(1.23031584) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.333940034795323 × 6371000     		do = 203.987764486313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.92054395--1.92044807) × cos(1.23028382) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.333970216494272 × 6371000     		du = 204.006201021785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23031584)-sin(1.23028382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333940034795323-0.333970216494272)×R²
    abs(-1.92044807--1.92054395)×3.01816989483616e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.01816989483616e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.01816989483616e-05×40589641000000     		ar = 41615.266167219m²