Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12736 / 12228
↖ ↑ ↗
← S 65.982270°
E 99.843750°		 ← 994.46 m → S 65.982270°
E 99.865723°		 →
↑
994.26 m
↓
↑
994.26 m
↓
S 65.991212°
E 99.843750°		 ← 994.11 m →
988 578 m²		 S 65.991212°
E 99.865723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777374267578125 y=0.746368408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777374267578125 × 214)
    floor (0.777374267578125 × 16384)
    floor (12736.5)     		tx = 12736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746368408203125 × 214)
    floor (0.746368408203125 × 16384)
    floor (12228.5)     		ty = 12228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12736 / 12228 ti = "14/12736/12228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12736/12228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12736 ÷ 214
    12736 ÷ 16384     		x = 0.77734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12228 ÷ 214
    12228 ÷ 16384     		y = 0.746337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77734375 × 2 - 1) × π
    0.5546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74260217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746337890625 × 2 - 1) × π
    -0.49267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54778661493237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74260217} λ = 1.74260217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54778661493237))-π/2
    2×atan(0.212718280615652)-π/2
    2×0.209594233426382-π/2
    0.419188466852763-1.57079632675     		φ = -1.15160786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74260217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15160786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.982270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12736 KachelY 12228 1.74260217 -1.15160786 99.843750 -65.982270
    Oben rechts KachelX + 1 12737 KachelY 12228 1.74298567 -1.15160786 99.865723 -65.982270
    Unten links KachelX 12736 KachelY + 1 12229 1.74260217 -1.15176392 99.843750 -65.991212
    Unten rechts KachelX + 1 12737 KachelY + 1 12229 1.74298567 -1.15176392 99.865723 -65.991212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15160786--1.15176392) × R
    0.000156060000000124 × 6371000     		dl = 994.258260000793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15160786--1.15176392) × R
    0.000156060000000124 × 6371000     		dr = 994.258260000793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74260217-1.74298567) × cos(-1.15160786) × R
    0.00038349999999987 × 0.407019316873945 × 6371000     		do = 994.46154600246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74260217-1.74298567) × cos(-1.15176392) × R
    0.00038349999999987 × 0.406876763663012 × 6371000     		du = 994.113248807082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15160786)-sin(-1.15176392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407019316873945-0.406876763663012)×R²
    abs(1.74298567-1.74260217)×0.000142553210932927×R²
    0.00038349999999987×0.000142553210932927×6371000²
    0.00038349999999987×0.000142553210932927×40589641000000     		ar = 988578.459690141m²