Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12735 / 12025
↖ ↑ ↗
← S 64.101007°
E 99.821777°		 ← 1 067.16 m → S 64.101007°
E 99.843750°		 →
↑
1 066.95 m
↓
↑
1 066.95 m
↓
S 64.110602°
E 99.821777°		 ← 1 066.79 m →
1 138 414 m²		 S 64.110602°
E 99.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777313232421875 y=0.733978271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777313232421875 × 214)
    floor (0.777313232421875 × 16384)
    floor (12735.5)     		tx = 12735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733978271484375 × 214)
    floor (0.733978271484375 × 16384)
    floor (12025.5)     		ty = 12025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12735 / 12025 ti = "14/12735/12025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12735/12025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12735 ÷ 214
    12735 ÷ 16384     		x = 0.77728271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12025 ÷ 214
    12025 ÷ 16384     		y = 0.73394775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77728271484375 × 2 - 1) × π
    0.5545654296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74221868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73394775390625 × 2 - 1) × π
    -0.4678955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4699370899494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74221868} λ = 1.74221868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4699370899494))-π/2
    2×atan(0.229939950265625)-π/2
    2×0.226011354541492-π/2
    0.452022709082984-1.57079632675     		φ = -1.11877362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74221868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.821777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11877362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.101007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12735 KachelY 12025 1.74221868 -1.11877362 99.821777 -64.101007
    Oben rechts KachelX + 1 12736 KachelY 12025 1.74260217 -1.11877362 99.843750 -64.101007
    Unten links KachelX 12735 KachelY + 1 12026 1.74221868 -1.11894109 99.821777 -64.110602
    Unten rechts KachelX + 1 12736 KachelY + 1 12026 1.74260217 -1.11894109 99.843750 -64.110602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11877362--1.11894109) × R
    0.000167470000000058 × 6371000     		dl = 1066.95137000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11877362--1.11894109) × R
    0.000167470000000058 × 6371000     		dr = 1066.95137000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74221868-1.74260217) × cos(-1.11877362) × R
    0.000383490000000153 × 0.436785983545404 × 6371000     		do = 1067.16197506325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74221868-1.74260217) × cos(-1.11894109) × R
    0.000383490000000153 × 0.436635327194569 × 6371000     		du = 1066.79388923868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11877362)-sin(-1.11894109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436785983545404-0.436635327194569)×R²
    abs(1.74260217-1.74221868)×0.000150656350835776×R²
    0.000383490000000153×0.000150656350835776×6371000²
    0.000383490000000153×0.000150656350835776×40589641000000     		ar = 1138413.56912964m²