Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 12734 / 14401
↖ ↑ ↗
← N 70.493739°
W110.050049°		 ← 203.95 m → N 70.493739°
W110.044556°		 →
↑
203.94 m
↓
↑
203.94 m
↓
N 70.491905°
W110.050049°		 ← 203.97 m →
41 594 m²		 N 70.491905°
W110.044556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.194313049316406 y=0.219749450683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.194313049316406 × 216)
    floor (0.194313049316406 × 65536)
    floor (12734.5)     		tx = 12734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219749450683594 × 216)
    floor (0.219749450683594 × 65536)
    floor (14401.5)     		ty = 14401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 12734 / 14401 ti = "16/12734/14401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/12734/14401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12734 ÷ 216
    12734 ÷ 65536     		x = 0.194305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14401 ÷ 216
    14401 ÷ 65536     		y = 0.219741821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.194305419921875 × 2 - 1) × π
    -0.61138916015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.92073569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219741821289062 × 2 - 1) × π
    0.560516357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76091407064314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.92073569} λ = -1.92073569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76091407064314))-π/2
    2×atan(5.81775280174873)-π/2
    2×1.40057209069448-π/2
    2.80114418138896-1.57079632675     		φ = 1.23034785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.92073569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -110.050049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23034785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.493739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12734 KachelY 14401 -1.92073569 1.23034785 -110.050049 70.493739
    Oben rechts KachelX + 1 12735 KachelY 14401 -1.92063982 1.23034785 -110.044556 70.493739
    Unten links KachelX 12734 KachelY + 1 14402 -1.92073569 1.23031584 -110.050049 70.491905
    Unten rechts KachelX + 1 12735 KachelY + 1 14402 -1.92063982 1.23031584 -110.044556 70.491905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23034785-1.23031584) × R
    3.20099999999712e-05 × 6371000     		dl = 203.935709999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23034785-1.23031584) × R
    3.20099999999712e-05 × 6371000     		dr = 203.935709999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.92073569--1.92063982) × cos(1.23034785) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333909862180043 × 6371000     		do = 203.948060101951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.92073569--1.92063982) × cos(1.23031584) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333940034795323 × 6371000     		du = 203.966489166353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23034785)-sin(1.23031584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333909862180043-0.333940034795323)×R²
    abs(-1.92063982--1.92073569)×3.01726152803217e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01726152803217e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01726152803217e-05×40589641000000     		ar = 41594.1716158455m²