Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12734 / 12029
↖ ↑ ↗
← S 64.139370°
E 99.799804°		 ← 1 065.72 m → S 64.139370°
E 99.821777°		 →
↑
1 065.49 m
↓
↑
1 065.49 m
↓
S 64.148952°
E 99.799804°		 ← 1 065.35 m →
1 135 312 m²		 S 64.148952°
E 99.821777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777252197265625 y=0.734222412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777252197265625 × 214)
    floor (0.777252197265625 × 16384)
    floor (12734.5)     		tx = 12734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734222412109375 × 214)
    floor (0.734222412109375 × 16384)
    floor (12029.5)     		ty = 12029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12734 / 12029 ti = "14/12734/12029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12734/12029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12734 ÷ 214
    12734 ÷ 16384     		x = 0.7772216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12029 ÷ 214
    12029 ÷ 16384     		y = 0.73419189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7772216796875 × 2 - 1) × π
    0.554443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74183518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73419189453125 × 2 - 1) × π
    -0.4683837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47147107073724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74183518} λ = 1.74183518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47147107073724))-π/2
    2×atan(0.229587497196792)-π/2
    2×0.225676574948376-π/2
    0.451353149896753-1.57079632675     		φ = -1.11944318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74183518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.799804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11944318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.139370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12734 KachelY 12029 1.74183518 -1.11944318 99.799804 -64.139370
    Oben rechts KachelX + 1 12735 KachelY 12029 1.74221868 -1.11944318 99.821777 -64.139370
    Unten links KachelX 12734 KachelY + 1 12030 1.74183518 -1.11961042 99.799804 -64.148952
    Unten rechts KachelX + 1 12735 KachelY + 1 12030 1.74221868 -1.11961042 99.821777 -64.148952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11944318--1.11961042) × R
    0.000167240000000124 × 6371000     		dl = 1065.48604000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11944318--1.11961042) × R
    0.000167240000000124 × 6371000     		dr = 1065.48604000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74183518-1.74221868) × cos(-1.11944318) × R
    0.00038349999999987 × 0.43618357263768 × 6371000     		do = 1065.71794507847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74183518-1.74221868) × cos(-1.11961042) × R
    0.00038349999999987 × 0.436033074335782 × 6371000     		du = 1065.35023581316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11944318)-sin(-1.11961042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43618357263768-0.436033074335782)×R²
    abs(1.74221868-1.74183518)×0.000150498301898616×R²
    0.00038349999999987×0.000150498301898616×6371000²
    0.00038349999999987×0.000150498301898616×40589641000000     		ar = 1135311.70116109m²