Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12731 / 20433
↖ ↑ ↗
← S 40.588928°
W 40.133057°		 ← 927.71 m → S 40.588928°
W 40.122070°		 →
↑
927.62 m
↓
↑
927.62 m
↓
S 40.597271°
W 40.133057°		 ← 927.59 m →
860 506 m²		 S 40.597271°
W 40.122070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.388534545898438 y=0.623580932617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.388534545898438 × 215)
    floor (0.388534545898438 × 32768)
    floor (12731.5)     		tx = 12731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623580932617188 × 215)
    floor (0.623580932617188 × 32768)
    floor (20433.5)     		ty = 20433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12731 / 20433 ti = "15/12731/20433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12731/20433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12731 ÷ 215
    12731 ÷ 32768     		x = 0.388519287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20433 ÷ 215
    20433 ÷ 32768     		y = 0.623565673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.388519287109375 × 2 - 1) × π
    -0.22296142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.70045398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623565673828125 × 2 - 1) × π
    -0.24713134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.776386026246429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70045398} λ = -0.70045398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.776386026246429))-π/2
    2×atan(0.460065675784114)-π/2
    2×0.431192945197558-π/2
    0.862385890395117-1.57079632675     		φ = -0.70841044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70045398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.133057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70841044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.588928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12731 KachelY 20433 -0.70045398 -0.70841044 -40.133057 -40.588928
    Oben rechts KachelX + 1 12732 KachelY 20433 -0.70026223 -0.70841044 -40.122070 -40.588928
    Unten links KachelX 12731 KachelY + 1 20434 -0.70045398 -0.70855604 -40.133057 -40.597271
    Unten rechts KachelX + 1 12732 KachelY + 1 20434 -0.70026223 -0.70855604 -40.122070 -40.597271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70841044--0.70855604) × R
    0.000145600000000079 × 6371000     		dl = 927.617600000503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70841044--0.70855604) × R
    0.000145600000000079 × 6371000     		dr = 927.617600000503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70045398--0.70026223) × cos(-0.70841044) × R
    0.000191750000000046 × 0.759397046366591 × 6371000     		do = 927.70923817572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70045398--0.70026223) × cos(-0.70855604) × R
    0.000191750000000046 × 0.75930230695555 × 6371000     		du = 927.593500792671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70841044)-sin(-0.70855604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759397046366591-0.75930230695555)×R²
    abs(-0.70026223--0.70045398)×9.47394110408784e-05×R²
    0.000191750000000046×9.47394110408784e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.47394110408784e-05×40589641000000     		ar = 860505.738518543m²