Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1273 / 314
↖ ↑ ↗
← N 77.078784°
E 43.769531°		 ← 4 370.70 m → N 77.078784°
E 43.945312°		 →
↑
4 377.20 m
↓
↑
4 377.20 m
↓
N 77.039419°
E 43.769531°		 ← 4 383.78 m →
19 160 034 m²		 N 77.039419°
E 43.945312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621826171875 y=0.153564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621826171875 × 211)
    floor (0.621826171875 × 2048)
    floor (1273.5)     		tx = 1273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153564453125 × 211)
    floor (0.153564453125 × 2048)
    floor (314.5)     		ty = 314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1273 / 314 ti = "11/1273/314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1273/314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1273 ÷ 211
    1273 ÷ 2048     		x = 0.62158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 314 ÷ 211
    314 ÷ 2048     		y = 0.1533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62158203125 × 2 - 1) × π
    0.2431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76392243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1533203125 × 2 - 1) × π
    0.693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17825271873535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76392243} λ = 0.76392243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17825271873535))-π/2
    2×atan(8.83086276952242)-π/2
    2×1.45803744460186-π/2
    2.91607488920371-1.57079632675     		φ = 1.34527856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76392243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.769531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34527856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.078784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1273 KachelY 314 0.76392243 1.34527856 43.769531 77.078784
    Oben rechts KachelX + 1 1274 KachelY 314 0.76699039 1.34527856 43.945312 77.078784
    Unten links KachelX 1273 KachelY + 1 315 0.76392243 1.34459151 43.769531 77.039419
    Unten rechts KachelX + 1 1274 KachelY + 1 315 0.76699039 1.34459151 43.945312 77.039419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34527856-1.34459151) × R
    0.0006870499999998 × 6371000     		dl = 4377.19554999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34527856-1.34459151) × R
    0.0006870499999998 × 6371000     		dr = 4377.19554999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76392243-0.76699039) × cos(1.34527856) × R
    0.00306795999999998 × 0.223611048224246 × 6371000     		do = 4370.69554687055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76392243-0.76699039) × cos(1.34459151) × R
    0.00306795999999998 × 0.224280648230635 × 6371000     		du = 4383.78353062336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34527856)-sin(1.34459151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223611048224246-0.224280648230635)×R²
    abs(0.76699039-0.76392243)×0.00066960000638891×R²
    0.00306795999999998×0.00066960000638891×6371000²
    0.00306795999999998×0.00066960000638891×40589641000000     		ar = 19160034.183973m²