Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12728 / 12072
↖ ↑ ↗
← S 64.548440°
E 99.667969°		 ← 1 049.99 m → S 64.548440°
E 99.689941°		 →
↑
1 049.81 m
↓
↑
1 049.81 m
↓
S 64.557881°
E 99.667969°		 ← 1 049.63 m →
1 102 107 m²		 S 64.557881°
E 99.689941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776885986328125 y=0.736846923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776885986328125 × 214)
    floor (0.776885986328125 × 16384)
    floor (12728.5)     		tx = 12728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736846923828125 × 214)
    floor (0.736846923828125 × 16384)
    floor (12072.5)     		ty = 12072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12728 / 12072 ti = "14/12728/12072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12728/12072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12728 ÷ 214
    12728 ÷ 16384     		x = 0.77685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12072 ÷ 214
    12072 ÷ 16384     		y = 0.73681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77685546875 × 2 - 1) × π
    0.5537109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73953421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73681640625 × 2 - 1) × π
    -0.4736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48796136420654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73953421} λ = 1.73953421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48796136420654))-π/2
    2×atan(0.225832576948724)-π/2
    2×0.22210675963498-π/2
    0.444213519269961-1.57079632675     		φ = -1.12658281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73953421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.667969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12658281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.548440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12728 KachelY 12072 1.73953421 -1.12658281 99.667969 -64.548440
    Oben rechts KachelX + 1 12729 KachelY 12072 1.73991771 -1.12658281 99.689941 -64.548440
    Unten links KachelX 12728 KachelY + 1 12073 1.73953421 -1.12674759 99.667969 -64.557881
    Unten rechts KachelX + 1 12729 KachelY + 1 12073 1.73991771 -1.12674759 99.689941 -64.557881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12658281--1.12674759) × R
    0.000164779999999976 × 6371000     		dl = 1049.81337999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12658281--1.12674759) × R
    0.000164779999999976 × 6371000     		dr = 1049.81337999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73953421-1.73991771) × cos(-1.12658281) × R
    0.000383500000000092 × 0.429747859113903 × 6371000     		do = 1049.99370459428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73953421-1.73991771) × cos(-1.12674759) × R
    0.000383500000000092 × 0.429599065354862 × 6371000     		du = 1049.63016000188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12658281)-sin(-1.12674759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429747859113903-0.429599065354862)×R²
    abs(1.73991771-1.73953421)×0.000148793759040422×R²
    0.000383500000000092×0.000148793759040422×6371000²
    0.000383500000000092×0.000148793759040422×40589641000000     		ar = 1102106.61550451m²