Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12726 / 12084
↖ ↑ ↗
← S 64.661518°
E 99.624023°		 ← 1 045.64 m → S 64.661518°
E 99.645996°		 →
↑
1 045.42 m
↓
↑
1 045.42 m
↓
S 64.670919°
E 99.624023°		 ← 1 045.28 m →
1 092 938 m²		 S 64.670919°
E 99.645996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776763916015625 y=0.737579345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776763916015625 × 214)
    floor (0.776763916015625 × 16384)
    floor (12726.5)     		tx = 12726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737579345703125 × 214)
    floor (0.737579345703125 × 16384)
    floor (12084.5)     		ty = 12084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12726 / 12084 ti = "14/12726/12084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12726/12084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12726 ÷ 214
    12726 ÷ 16384     		x = 0.7767333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12084 ÷ 214
    12084 ÷ 16384     		y = 0.737548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7767333984375 × 2 - 1) × π
    0.553466796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73876722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737548828125 × 2 - 1) × π
    -0.47509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49256330657007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73876722} λ = 1.73876722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49256330657007))-π/2
    2×atan(0.224795696108642)-π/2
    2×0.221119974456626-π/2
    0.442239948913251-1.57079632675     		φ = -1.12855638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73876722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.624023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12855638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.661518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12726 KachelY 12084 1.73876722 -1.12855638 99.624023 -64.661518
    Oben rechts KachelX + 1 12727 KachelY 12084 1.73915072 -1.12855638 99.645996 -64.661518
    Unten links KachelX 12726 KachelY + 1 12085 1.73876722 -1.12872047 99.624023 -64.670919
    Unten rechts KachelX + 1 12727 KachelY + 1 12085 1.73915072 -1.12872047 99.645996 -64.670919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12855638--1.12872047) × R
    0.00016408999999995 × 6371000     		dl = 1045.41738999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12855638--1.12872047) × R
    0.00016408999999995 × 6371000     		dr = 1045.41738999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73876722-1.73915072) × cos(-1.12855638) × R
    0.000383500000000092 × 0.427964990413793 × 6371000     		do = 1045.63765983098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73876722-1.73915072) × cos(-1.12872047) × R
    0.000383500000000092 × 0.427816680880031 × 6371000     		du = 1045.27529833579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12855638)-sin(-1.12872047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427964990413793-0.427816680880031)×R²
    abs(1.73915072-1.73876722)×0.00014830953376177×R²
    0.000383500000000092×0.00014830953376177×6371000²
    0.000383500000000092×0.00014830953376177×40589641000000     		ar = 1092938.38617401m²