Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 127251 / 85714
↖ ↑ ↗
← S 48.374497°
E169.505310°		 ← 202.88 m → S 48.374497°
E169.508057°		 →
↑
202.85 m
↓
↑
202.85 m
↓
S 48.376321°
E169.505310°		 ← 202.87 m →
41 154 m²		 S 48.376321°
E169.508057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 127251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.970851898193359 y=0.653949737548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.970851898193359 × 217)
    floor (0.970851898193359 × 131072)
    floor (127251.5)     		tx = 127251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653949737548828 × 217)
    floor (0.653949737548828 × 131072)
    floor (85714.5)     		ty = 85714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 127251 / 85714 ti = "17/127251/85714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/127251/85714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 127251 ÷ 217
    127251 ÷ 131072     		x = 0.970848083496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85714 ÷ 217
    85714 ÷ 131072     		y = 0.653945922851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.970848083496094 × 2 - 1) × π
    0.941696166992188 × 3.1415926535     		Λ = 2.95842576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653945922851562 × 2 - 1) × π
    -0.307891845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.967270760533493
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.95842576} λ = 2.95842576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967270760533493))-π/2
    2×atan(0.380119059624397)-π/2
    2×0.363251042554754-π/2
    0.726502085109507-1.57079632675     		φ = -0.84429424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.95842576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 169.505310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84429424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.374497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 127251 KachelY 85714 2.95842576 -0.84429424 169.505310 -48.374497
    Oben rechts KachelX + 1 127252 KachelY 85714 2.95847370 -0.84429424 169.508057 -48.374497
    Unten links KachelX 127251 KachelY + 1 85715 2.95842576 -0.84432608 169.505310 -48.376321
    Unten rechts KachelX + 1 127252 KachelY + 1 85715 2.95847370 -0.84432608 169.508057 -48.376321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84429424--0.84432608) × R
    3.18400000000052e-05 × 6371000     		dl = 202.852640000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84429424--0.84432608) × R
    3.18400000000052e-05 × 6371000     		dr = 202.852640000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.95842576-2.95847370) × cos(-0.84429424) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.664259005233865 × 6371000     		do = 202.881798225084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.95842576-2.95847370) × cos(-0.84432608) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.664235204417849 × 6371000     		du = 202.87452884324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84429424)-sin(-0.84432608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664259005233865-0.664235204417849)×R²
    abs(2.95847370-2.95842576)×2.38008160157177e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38008160157177e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38008160157177e-05×40589641000000     		ar = 41154.3710748785m²