Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12725 / 20421
↖ ↑ ↗
← S 40.488738°
W 40.198974°		 ← 929.05 m → S 40.488738°
W 40.187989°		 →
↑
929.02 m
↓
↑
929.02 m
↓
S 40.497092°
W 40.198974°		 ← 928.93 m →
863 051 m²		 S 40.497092°
W 40.187989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.388351440429688 y=0.623214721679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.388351440429688 × 215)
    floor (0.388351440429688 × 32768)
    floor (12725.5)     		tx = 12725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623214721679688 × 215)
    floor (0.623214721679688 × 32768)
    floor (20421.5)     		ty = 20421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12725 / 20421 ti = "15/12725/20421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12725/20421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12725 ÷ 215
    12725 ÷ 32768     		x = 0.388336181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20421 ÷ 215
    20421 ÷ 32768     		y = 0.623199462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.388336181640625 × 2 - 1) × π
    -0.22332763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.70160446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623199462890625 × 2 - 1) × π
    -0.24639892578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.774085055064667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70160446} λ = -0.70160446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.774085055064667))-π/2
    2×atan(0.461125492482054)-π/2
    2×0.432067274419719-π/2
    0.864134548839438-1.57079632675     		φ = -0.70666178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70160446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.198974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70666178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.488738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12725 KachelY 20421 -0.70160446 -0.70666178 -40.198974 -40.488738
    Oben rechts KachelX + 1 12726 KachelY 20421 -0.70141272 -0.70666178 -40.187989 -40.488738
    Unten links KachelX 12725 KachelY + 1 20422 -0.70160446 -0.70680760 -40.198974 -40.497092
    Unten rechts KachelX + 1 12726 KachelY + 1 20422 -0.70141272 -0.70680760 -40.187989 -40.497092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70666178--0.70680760) × R
    0.000145819999999963 × 6371000     		dl = 929.019219999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70666178--0.70680760) × R
    0.000145819999999963 × 6371000     		dr = 929.019219999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70160446--0.70141272) × cos(-0.70666178) × R
    0.000191739999999996 × 0.760533611000686 × 6371000     		do = 929.049256546293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70160446--0.70141272) × cos(-0.70680760) × R
    0.000191739999999996 × 0.760438922198478 × 6371000     		du = 928.933587021603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70666178)-sin(-0.70680760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760533611000686-0.760438922198478)×R²
    abs(-0.70141272--0.70160446)×9.46888022084202e-05×R²
    0.000191739999999996×9.46888022084202e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.46888022084202e-05×40589641000000     		ar = 863050.887581456m²