Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12725 / 12073
↖ ↑ ↗
← S 64.557881°
E 99.602051°		 ← 1 049.60 m → S 64.557881°
E 99.624023°		 →
↑
1 049.43 m
↓
↑
1 049.43 m
↓
S 64.567319°
E 99.602051°		 ← 1 049.24 m →
1 101 295 m²		 S 64.567319°
E 99.624023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776702880859375 y=0.736907958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776702880859375 × 214)
    floor (0.776702880859375 × 16384)
    floor (12725.5)     		tx = 12725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736907958984375 × 214)
    floor (0.736907958984375 × 16384)
    floor (12073.5)     		ty = 12073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12725 / 12073 ti = "14/12725/12073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12725/12073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12725 ÷ 214
    12725 ÷ 16384     		x = 0.77667236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12073 ÷ 214
    12073 ÷ 16384     		y = 0.73687744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77667236328125 × 2 - 1) × π
    0.5533447265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73838373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73687744140625 × 2 - 1) × π
    -0.4737548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4883448594035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73838373} λ = 1.73838373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4883448594035))-π/2
    2×atan(0.225745987844461)-π/2
    2×0.222024370780476-π/2
    0.444048741560952-1.57079632675     		φ = -1.12674759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73838373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.602051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12674759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.557881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12725 KachelY 12073 1.73838373 -1.12674759 99.602051 -64.557881
    Oben rechts KachelX + 1 12726 KachelY 12073 1.73876722 -1.12674759 99.624023 -64.557881
    Unten links KachelX 12725 KachelY + 1 12074 1.73838373 -1.12691231 99.602051 -64.567319
    Unten rechts KachelX + 1 12726 KachelY + 1 12074 1.73876722 -1.12691231 99.624023 -64.567319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12674759--1.12691231) × R
    0.000164720000000118 × 6371000     		dl = 1049.43112000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12674759--1.12691231) × R
    0.000164720000000118 × 6371000     		dr = 1049.43112000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73838373-1.73876722) × cos(-1.12674759) × R
    0.000383489999999931 × 0.429599065354862 × 6371000     		do = 1049.60279024499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73838373-1.73876722) × cos(-1.12691231) × R
    0.000383489999999931 × 0.429450314116585 × 6371000     		du = 1049.2393590196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12674759)-sin(-1.12691231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429599065354862-0.429450314116585)×R²
    abs(1.73876722-1.73838373)×0.000148751238277012×R²
    0.000383489999999931×0.000148751238277012×6371000²
    0.000383489999999931×0.000148751238277012×40589641000000     		ar = 1101295.13619323m²