Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 127237 / 85763
↖ ↑ ↗
← S 48.463816°
E169.466858°		 ← 202.53 m → S 48.463816°
E169.469604°		 →
↑
202.47 m
↓
↑
202.47 m
↓
S 48.465637°
E169.466858°		 ← 202.52 m →
41 005 m²		 S 48.465637°
E169.469604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 127237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.970745086669922 y=0.654323577880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.970745086669922 × 217)
    floor (0.970745086669922 × 131072)
    floor (127237.5)     		tx = 127237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654323577880859 × 217)
    floor (0.654323577880859 × 131072)
    floor (85763.5)     		ty = 85763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 127237 / 85763 ti = "17/127237/85763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/127237/85763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 127237 ÷ 217
    127237 ÷ 131072     		x = 0.970741271972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85763 ÷ 217
    85763 ÷ 131072     		y = 0.654319763183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.970741271972656 × 2 - 1) × π
    0.941482543945312 × 3.1415926535     		Λ = 2.95775464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654319763183594 × 2 - 1) × π
    -0.308639526367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.969619668614876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.95775464} λ = 2.95775464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969619668614876))-π/2
    2×atan(0.379227242701387)-π/2
    2×0.362471585690731-π/2
    0.724943171381461-1.57079632675     		φ = -0.84585316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.95775464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 169.466858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84585316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.463816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 127237 KachelY 85763 2.95775464 -0.84585316 169.466858 -48.463816
    Oben rechts KachelX + 1 127238 KachelY 85763 2.95780258 -0.84585316 169.469604 -48.463816
    Unten links KachelX 127237 KachelY + 1 85764 2.95775464 -0.84588494 169.466858 -48.465637
    Unten rechts KachelX + 1 127238 KachelY + 1 85764 2.95780258 -0.84588494 169.469604 -48.465637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84585316--0.84588494) × R
    3.17800000000368e-05 × 6371000     		dl = 202.470380000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84585316--0.84588494) × R
    3.17800000000368e-05 × 6371000     		dr = 202.470380000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.95775464-2.95780258) × cos(-0.84585316) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663092901971236 × 6371000     		do = 202.525640273179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.95775464-2.95780258) × cos(-0.84588494) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663069113127069 × 6371000     		du = 202.518374547846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84585316)-sin(-0.84588494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663092901971236-0.663069113127069)×R²
    abs(2.95780258-2.95775464)×2.37888441673162e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37888441673162e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37888441673162e-05×40589641000000     		ar = 41004.7078023551m²