Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12722 / 12185
↖ ↑ ↗
← S 65.594800°
E 99.536133°		 ← 1 009.53 m → S 65.594800°
E 99.558106°		 →
↑
1 009.36 m
↓
↑
1 009.36 m
↓
S 65.603878°
E 99.536133°		 ← 1 009.18 m →
1 018 800 m²		 S 65.603878°
E 99.558106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776519775390625 y=0.743743896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776519775390625 × 214)
    floor (0.776519775390625 × 16384)
    floor (12722.5)     		tx = 12722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743743896484375 × 214)
    floor (0.743743896484375 × 16384)
    floor (12185.5)     		ty = 12185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12722 / 12185 ti = "14/12722/12185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12722/12185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12722 ÷ 214
    12722 ÷ 16384     		x = 0.7764892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12185 ÷ 214
    12185 ÷ 16384     		y = 0.74371337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7764892578125 × 2 - 1) × π
    0.552978515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73723324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74371337890625 × 2 - 1) × π
    -0.4874267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53129632146307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73723324} λ = 1.73723324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53129632146307))-π/2
    2×atan(0.216255149342962)-π/2
    2×0.212975543593255-π/2
    0.425951087186511-1.57079632675     		φ = -1.14484524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73723324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.536133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14484524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.594800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12722 KachelY 12185 1.73723324 -1.14484524 99.536133 -65.594800
    Oben rechts KachelX + 1 12723 KachelY 12185 1.73761674 -1.14484524 99.558106 -65.594800
    Unten links KachelX 12722 KachelY + 1 12186 1.73723324 -1.14500367 99.536133 -65.603878
    Unten rechts KachelX + 1 12723 KachelY + 1 12186 1.73761674 -1.14500367 99.558106 -65.603878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14484524--1.14500367) × R
    0.000158429999999932 × 6371000     		dl = 1009.35752999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14484524--1.14500367) × R
    0.000158429999999932 × 6371000     		dr = 1009.35752999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73723324-1.73761674) × cos(-1.14484524) × R
    0.000383500000000092 × 0.413187072035661 × 6371000     		do = 1009.53108958292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73723324-1.73761674) × cos(-1.14500367) × R
    0.000383500000000092 × 0.413042793178339 × 6371000     		du = 1009.17857615282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14484524)-sin(-1.14500367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413187072035661-0.413042793178339)×R²
    abs(1.73761674-1.73723324)×0.000144278857321989×R²
    0.000383500000000092×0.000144278857321989×6371000²
    0.000383500000000092×0.000144278857321989×40589641000000     		ar = 1018799.90312888m²