Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12721 / 12017
↖ ↑ ↗
← S 64.024121°
E 99.514160°		 ← 1 070.11 m → S 64.024121°
E 99.536133°		 →
↑
1 069.95 m
↓
↑
1 069.95 m
↓
S 64.033744°
E 99.514160°		 ← 1 069.74 m →
1 144 763 m²		 S 64.033744°
E 99.536133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776458740234375 y=0.733489990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776458740234375 × 214)
    floor (0.776458740234375 × 16384)
    floor (12721.5)     		tx = 12721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733489990234375 × 214)
    floor (0.733489990234375 × 16384)
    floor (12017.5)     		ty = 12017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12721 / 12017 ti = "14/12721/12017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12721/12017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12721 ÷ 214
    12721 ÷ 16384     		x = 0.77642822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12017 ÷ 214
    12017 ÷ 16384     		y = 0.73345947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77642822265625 × 2 - 1) × π
    0.5528564453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73684975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73345947265625 × 2 - 1) × π
    -0.4669189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46686912837372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73684975} λ = 1.73684975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46686912837372))-π/2
    2×atan(0.230646480447302)-π/2
    2×0.226682301074936-π/2
    0.453364602149872-1.57079632675     		φ = -1.11743172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73684975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.514160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11743172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.024121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12721 KachelY 12017 1.73684975 -1.11743172 99.514160 -64.024121
    Oben rechts KachelX + 1 12722 KachelY 12017 1.73723324 -1.11743172 99.536133 -64.024121
    Unten links KachelX 12721 KachelY + 1 12018 1.73684975 -1.11759966 99.514160 -64.033744
    Unten rechts KachelX + 1 12722 KachelY + 1 12018 1.73723324 -1.11759966 99.536133 -64.033744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11743172--1.11759966) × R
    0.000167940000000089 × 6371000     		dl = 1069.94574000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11743172--1.11759966) × R
    0.000167940000000089 × 6371000     		dr = 1069.94574000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73684975-1.73723324) × cos(-1.11743172) × R
    0.000383489999999931 × 0.437992716805524 × 6371000     		do = 1070.11028361134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73684975-1.73723324) × cos(-1.11759966) × R
    0.000383489999999931 × 0.437841736176989 × 6371000     		du = 1069.7414055067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11743172)-sin(-1.11759966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437992716805524-0.437841736176989)×R²
    abs(1.73723324-1.73684975)×0.000150980628534636×R²
    0.000383489999999931×0.000150980628534636×6371000²
    0.000383489999999931×0.000150980628534636×40589641000000     		ar = 1144762.6021922m²